Use o critério da comparação para provar que
é convergente, a partir da convergência de
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Pede-se provar que a série
é convergente. - O enunciado nos informa que a série
é convergente (essa informação pode ser usada livremente). - Observação importante: para todo
os termos e são não-negativos, portanto podemos aplicar critérios de comparação para séries de termos não-negativos.
Passo 2
Enunciado e ideia do Critério da Comparação Direta (teoria explicada passo a passo).
- O Critério da Comparação Direta diz o seguinte: se
e são sequências com para todo (ou a partir de algum ) e se converge, então também converge. - Por que isso funciona, em palavras simples: os somatórios parciais
e satisfazem para todo . Se converge, os formam uma sequência limitada e crescente, logo também é uma sequência crescente e limitada, portanto converge. - Aqui
será e será . Só falta verificar .
Passo 3
Provar a desigualdade
para todo
.
- Começamos com a desigualdade que queremos mostrar:
- Como todos os denominadores são positivos para
, podemos multiplicar em ambos os lados por sem mudar o sentido da desigualdade. Isso dá:
- Desenvolvendo o lado esquerdo:
- Subtraindo
dos dois lados:
- Reescrevendo:
- A última desigualdade é verdadeira para todo
(para dá igualdade). Portanto a desigualdade original
vale para todo
.
Passo 4
Aplicar o Critério da Comparação Direta e concluir.
- Já verificamos que para todo
vale . - Pelo enunciado, a série
é convergente. - Pelo Critério da Comparação Direta, segue que a série
também é convergente.
Passo 5
Comentário pedagógico (reforço curto e intuitivo).
- Para intuir por que
dá uma série convergente: ela é telescópica, pois
e a soma parcial telescopa para um valor finito (tendendo a
quando
). Como
é menor termo a termo que essa sequência telescópica, a série de
converge também.
- Assim, a comparação foi simples e eficiente: provou convergência sem calcular a soma de
.
Resposta
A série
é convergente.