Use o critério da comparação para provar que \sum 1 / n^{2} é convergente, a partir da convergência de \sum 2 / n(n+1).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pede-se provar que a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}} é convergente.
  • O enunciado nos informa que a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2}{n(n+1)} é convergente (essa informação pode ser usada livremente).
  • Observação importante: para todo n\ge 1 os termos \dfrac{1}{n^{2}} e \dfrac{2}{n(n+1)} são não-negativos, portanto podemos aplicar critérios de comparação para séries de termos não-negativos.

Passo 2

Enunciado e ideia do Critério da Comparação Direta (teoria explicada passo a passo).
  • O Critério da Comparação Direta diz o seguinte: se (a_n) e (b_n) são sequências com 0 \le a_n \le b_n para todo n (ou a partir de algum N) e se \sum b_n converge, então \sum a_n também converge.
  • Por que isso funciona, em palavras simples: os somatórios parciais A_N=\sum_{n=1}^{N} a_n e B_N=\sum_{n=1}^{N} b_n satisfazem A_N\le B_N para todo N. Se \sum b_n converge, os B_N formam uma sequência limitada e crescente, logo A_N também é uma sequência crescente e limitada, portanto converge.
  • Aqui a_n será a_n=\dfrac{1}{n^{2}} e b_n será b_n=\dfrac{2}{n(n+1)}. Só falta verificar 0\le a_n\le b_n.

Passo 3

Provar a desigualdade \dfrac{1}{n^{2}} \le \dfrac{2}{n(n+1)} para todo n\ge 1.
  • Começamos com a desigualdade que queremos mostrar:
\frac{1}{n^{2}} \le \frac{2}{n(n+1)}.
  • Como todos os denominadores são positivos para n\ge 1, podemos multiplicar em ambos os lados por n^{2}n(n+1)>0 sem mudar o sentido da desigualdade. Isso dá:
n(n+1) \le 2n^{2}.
  • Desenvolvendo o lado esquerdo:
n^{2}+n \le 2n^{2}.
  • Subtraindo n^{2} dos dois lados:
n \le n^{2}.
  • Reescrevendo:
0 \le n^{2}-n = n(n-1).
  • A última desigualdade é verdadeira para todo n\ge 1 (para n=1 dá igualdade). Portanto a desigualdade original
\frac{1}{n^{2}} \le \frac{2}{n(n+1)}
vale para todo n\ge 1.

Passo 4

Aplicar o Critério da Comparação Direta e concluir.
  • Já verificamos que para todo n\ge 1 vale 0\le \dfrac{1}{n^{2}} \le \dfrac{2}{n(n+1)}.
  • Pelo enunciado, a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2}{n(n+1)} é convergente.
  • Pelo Critério da Comparação Direta, segue que a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}} também é convergente.

Passo 5

Comentário pedagógico (reforço curto e intuitivo).
  • Para intuir por que \dfrac{2}{n(n+1)} dá uma série convergente: ela é telescópica, pois
\frac{2}{n(n+1)}=2\Big(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\Big),
e a soma parcial telescopa para um valor finito (tendendo a 2 quando N\to\infty). Como \dfrac{1}{n^{2}} é menor termo a termo que essa sequência telescópica, a série de \dfrac{1}{n^{2}} converge também.
  • Assim, a comparação foi simples e eficiente: provou convergência sem calcular a soma de \sum 1/n^{2}.

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}} é convergente.

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