Use o critério da razão para determinar todos os valores de x para os quais as séries abaixo sejam convergentes e os valores para os quais elas são divergentes.
\sum \frac{x^{n}}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\displaystyle \sum \frac{x^{n}}{n^{2}}
e pede para usar o critério da razão para determinar para quais valores de x ela converge ou diverge. Vamos lembrar que o critério da razão analisa
L = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
para a_n sendo o termo geral da série.

Passo 2

Aqui a_n = \frac{x^n}{n^2}. Calculamos
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left|\frac{x^{n+1}/(n+1)^2}{x^n/n^2}\right| = |x|\;\frac{n^2}{(n+1)^2}.
Tomando o limite quando n\to\infty,
L = \lim_{n\to\infty} |x|\;\frac{n^2}{(n+1)^2} = |x|\;\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{(n+1)^2} = |x|.

Passo 3

Pelo critério da razão:
  • Se L<1, isto é |x|<1, a série converge absolutamente.
  • Se L>1, isto é |x|>1, a série diverge.

Passo 4

Faltam os casos |x|=1:
  • Se x=1, a série fica \sum 1/n^2, que é uma p-série com p=2>1 e portanto converge.
  • Se x=-1, a série fica \sum(-1)^n/n^2, que converge absolutamente também (pois \sum1/n^2 converge).

Resposta

A série converge para |x|\le1 e diverge para |x|>1.

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