Use a definição de derivadas parciais como limites para encontrar f_{x}(x, y) e f_{y}(x, y), onde:
f(x, y)=4 x-7 y-8

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais f_{x}(x,y) e f_{y}(x,y) usando a definição por limites. As informações dadas são:
f(x,y)=4x-7y-8.
Não há restrição explícita de domínio, então assumimos (x,y)\in\mathbb{R}^2. O que queremos: calcular a derivada parcial em relação a x mantendo y fixo e a derivada parcial em relação a y mantendo x fixo, usando as definições-limite.

Passo 2

Vou lembrar e explicar a definição de derivada parcial em linguagem simples. A derivada parcial de f em relação a x no ponto (x,y) é a taxa de variação de f quando só x muda e y é mantido fixo. Formalmente:
f_x(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h},
onde h é um pequeno incremento em x. Aqui \;f(x+h,y)\; significa avaliar f em (x+h,y) — ou seja, só x mudou. Cada símbolo:
  • f_x(x,y) é a derivada parcial de f em relação a x no ponto (x,y).
  • h é o incremento em x.
  • \lim_{h\to 0} diz que fazemos h ficar muito pequeno e vemos o quociente tender a um número.
De forma análoga, a derivada parcial em relação a y é
f_y(x,y)=\lim_{k\to 0}\frac{f(x,y+k)-f(x,y)}{k},
onde k é o incremento em y. Mesmo raciocínio: só y varia, x fica fixo.

Passo 3

Agora aplico a definição para f_x(x,y). Primeiro calculo f(x+h,y) substituindo x+h em f:
f(x+h,y)=4(x+h)-7y-8.
Faço a multiplicação e simplificação:
f(x+h,y)=4x+4h-7y-8.

Passo 4

Formo a diferença f(x+h,y)-f(x,y). Como f(x,y)=4x-7y-8, temos:
f(x+h,y)-f(x,y)=(4x+4h-7y-8)-(4x-7y-8).
Agora simplifico termo a termo. Note que 4x cancela com -4x, -7y cancela com +7y e -8 cancela com +8, sobrando apenas:
f(x+h,y)-f(x,y)=4h.

Passo 5

Divido pela variação h e tomo o limite:
\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}=\frac{4h}{h}=4 \quad\text{para } h\neq 0.
Logo
f_x(x,y)=\lim_{h\to 0}4=4.
Aqui explico por que: a expressão não depende de h (para h\neq0 vale sempre 4), então o limite quando h\to0 é simplesmente 4. Intuitivamente, como f é linear em x com coeficiente 4, a taxa de variação em x é constante igual a 4.

Passo 6

Agora faço o mesmo para f_y(x,y). Primeiro calculo f(x,y+k) substituindo y+k em f:
f(x,y+k)=4x-7(y+k)-8.
Faço a multiplicação e simplificação:
f(x,y+k)=4x-7y-7k-8.

Passo 7

Formo a diferença f(x,y+k)-f(x,y). Como f(x,y)=4x-7y-8, temos:
f(x,y+k)-f(x,y)=(4x-7y-7k-8)-(4x-7y-8).
Cancelam 4x, -7y e -8, sobrando:
f(x,y+k)-f(x,y)=-7k.

Passo 8

Divido pela variação k e tomo o limite:
\frac{f(x,y+k)-f(x,y)}{k}=\frac{-7k}{k}=-7 \quad\text{para } k\neq 0,
portanto
f_y(x,y)=\lim_{k\to 0}(-7)=-7.
Explicação intuitiva: a função é linear em y com coeficiente -7, então a taxa de variação quando y muda (com x fixo) é sempre -7.

Resposta

f_{x}(x,y)=4
f_{y}(x,y)=-7

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