Use a definição de derivadas parciais como limites para encontrar
e
, onde:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais
e
usando a definição por limites. As informações dadas são:
Não há restrição explícita de domínio, então assumimos
. O que queremos: calcular a derivada parcial em relação a
mantendo
fixo e a derivada parcial em relação a
mantendo
fixo, usando as definições-limite.
Passo 2
Vou lembrar e explicar a definição de derivada parcial em linguagem simples. A derivada parcial de
em relação a
no ponto
é a taxa de variação de
quando só
muda e
é mantido fixo. Formalmente:
onde
é um pequeno incremento em
. Aqui
significa avaliar
em
— ou seja, só
mudou. Cada símbolo:
-
é a derivada parcial de em relação a no ponto . -
é o incremento em . -
diz que fazemos ficar muito pequeno e vemos o quociente tender a um número.
De forma análoga, a derivada parcial em relação a
é
onde
é o incremento em
. Mesmo raciocínio: só
varia,
fica fixo.
Passo 3
Agora aplico a definição para
. Primeiro calculo
substituindo
em
:
Faço a multiplicação e simplificação:
Passo 4
Formo a diferença
. Como
, temos:
Agora simplifico termo a termo. Note que
cancela com
,
cancela com
e
cancela com
, sobrando apenas:
Passo 5
Divido pela variação
e tomo o limite:
Logo
Aqui explico por que: a expressão não depende de
(para
vale sempre
), então o limite quando
é simplesmente
. Intuitivamente, como
é linear em
com coeficiente
, a taxa de variação em
é constante igual a
.
Passo 6
Agora faço o mesmo para
. Primeiro calculo
substituindo
em
:
Faço a multiplicação e simplificação:
Passo 7
Formo a diferença
. Como
, temos:
Cancelam
,
e
, sobrando:
Passo 8
Divido pela variação
e tomo o limite:
portanto
Explicação intuitiva: a função é linear em
com coeficiente
, então a taxa de variação quando
muda (com
fixo) é sempre
.