Use a definição de derivadas parciais como limites para encontrar f_{x}(x, y) e f_{y}(x, y), onde:
f(x, y)=x y^{2}-x^{2} y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais f_{x}(x,y) e f_{y}(x,y) usando a definição de derivada como limite. A função dada é
f(x,y)=x y^{2}-x^{2} y.
Informações relevantes: temos f explícita em termos de x e y; queremos as derivadas parciais em ponto genérico (x,y) — ou seja, expressões que valem para qualquer x e y.

Passo 2

Vou lembrar e explicar a definição de derivada parcial de forma didática.
Definição de derivada parcial em x (mantendo y fixo): a derivada parcial de f em relação a x no ponto (x,y) é
f_{x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h},
onde h é um incremento pequeno em x e y é tratado como constante (fixo) nessa diferença. Aqui h é uma variável que tende a zero; o objetivo é ver como f muda quando só x muda.
Definição de derivada parcial em y (mantendo x fixo): a derivada parcial de f em relação a y no ponto (x,y) é
f_{y}(x,y)=\lim_{k\to 0}\frac{f(x,y+k)-f(x,y)}{k},
onde k é o incremento em y e x é tratado como constante.
Explicação extra curta: nessas definições fazemos a diferença incrementando só uma variável, dividimos pelo incremento e depois fazemos o incremento tender a zero — igual a derivada de uma função de uma variável, mas agora mantendo a outra variável fixa.

Passo 3

Calculando f_{x}(x,y) pela definição. Primeiro escrevo f(x+h,y) (tratando y como constante):
f(x+h,y)=(x+h)y^{2}-(x+h)^{2}y.
Faço a expansão algébrica passo a passo:
(x+h)y^{2}=x y^{2}+h y^{2},
(x+h)^{2}=(x^{2}+2xh+h^{2}),
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(x+h)^{2}y=x^{2}y+2x h y+h^{2}y.
Assim
f(x+h,y)=x y^{2}+h y^{2}-\bigl(x^{2}y+2x h y+h^{2}y\bigr).
Agora calculo a diferença do numerador da definição:
f(x+h,y)-f(x,y)=\bigl(x y^{2}+h y^{2}-x^{2}y-2x h y-h^{2}y\bigr)-\bigl(x y^{2}-x^{2}y\bigr).
Cancelo os termos x y^{2} e -x^{2}y que aparecem em ambos; sobra
f(x+h,y)-f(x,y)=h y^{2}-2x h y-h^{2}y.

Passo 4

Continuando o cálculo de f_{x}: fatoro h no numerador para simplificar a divisão por h:
f(x+h,y)-f(x,y)=h\bigl(y^{2}-2x y-h y\bigr).
Divido pelo h e obtenho a expressão que será sujeita ao limite:
\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}=y^{2}-2x y-h y.
Agora tomo o limite quando h\to 0. O termo -h y tende a zero porque é múltiplo de h, então
\lim_{h\to 0}\bigl(y^{2}-2x y-h y\bigr)=y^{2}-2x y.
Portanto, usando a definição, chegamos à expressão (intermediária) para f_{x}(x,y):
f_{x}(x,y)=y^{2}-2x y.

Passo 5

Agora calculo f_{y}(x,y) pela definição, mantendo x fixo. Primeiro escrevo f(x,y+k):
f(x,y+k)=x(y+k)^{2}-x^{2}(y+k).
Faço as expansões:
(y+k)^{2}=y^{2}+2y k+k^{2},
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x(y+k)^{2}=x y^{2}+2x y k+x k^{2},
e
x^{2}(y+k)=x^{2}y+x^{2}k.
Assim
f(x,y+k)=x y^{2}+2x y k+x k^{2}-x^{2}y-x^{2}k.
Subtraio f(x,y)=x y^{2}-x^{2}y:
f(x,y+k)-f(x,y)=\bigl(x y^{2}+2x y k+x k^{2}-x^{2}y-x^{2}k\bigr)-\bigl(x y^{2}-x^{2}y\bigr).
Cancelam x y^{2} e -x^{2}y, sobrando
f(x,y+k)-f(x,y)=2x y k+x k^{2}-x^{2}k.

Passo 6

Fatoro k no numerador e divido por k:
f(x,y+k)-f(x,y)=k\bigl(2x y+x k-x^{2}\bigr),
\frac{f(x,y+k)-f(x,y)}{k}=2x y+x k-x^{2}.
Faço o limite quando k\to 0. O termo x k tende a zero, então
\lim_{k\to 0}\bigl(2x y+x k-x^{2}\bigr)=2x y-x^{2}.
Portanto, pela definição,
f_{y}(x,y)=2x y-x^{2}.

Resposta

f_{x}(x,y)=y^{2}-2x y
f_{y}(x,y)=2x y-x^{2}

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