Use a definição de derivadas parciais como limites para encontrar
e
, onde:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais
e
usando a definição de derivada como limite. A função dada é
Informações relevantes: temos
explícita em termos de
e
; queremos as derivadas parciais em ponto genérico
— ou seja, expressões que valem para qualquer
e
.
Passo 2
Vou lembrar e explicar a definição de derivada parcial de forma didática.
Definição de derivada parcial em
(mantendo
fixo): a derivada parcial de
em relação a
no ponto
é
onde
é um incremento pequeno em
e
é tratado como constante (fixo) nessa diferença. Aqui
é uma variável que tende a zero; o objetivo é ver como
muda quando só
muda.
Definição de derivada parcial em
(mantendo
fixo): a derivada parcial de
em relação a
no ponto
é
onde
é o incremento em
e
é tratado como constante.
Explicação extra curta: nessas definições fazemos a diferença incrementando só uma variável, dividimos pelo incremento e depois fazemos o incremento tender a zero — igual a derivada de uma função de uma variável, mas agora mantendo a outra variável fixa.
Passo 3
Calculando
pela definição. Primeiro escrevo
(tratando
como constante):
Faço a expansão algébrica passo a passo:
logo
Assim
Agora calculo a diferença do numerador da definição:
Cancelo os termos
e
que aparecem em ambos; sobra
Passo 4
Continuando o cálculo de
: fatoro
no numerador para simplificar a divisão por
:
Divido pelo
e obtenho a expressão que será sujeita ao limite:
Agora tomo o limite quando
. O termo
tende a zero porque é múltiplo de
, então
Portanto, usando a definição, chegamos à expressão (intermediária) para
:
Passo 5
Agora calculo
pela definição, mantendo
fixo. Primeiro escrevo
:
Faço as expansões:
logo
e
Assim
Subtraio
:
Cancelam
e
, sobrando
Passo 6
Fatoro
no numerador e divido por
:
Faço o limite quando
. O termo
tende a zero, então
Portanto, pela definição,