Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:
p)
p)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações importantes dadas:
A tarefa é obter
.
Passo 2
Por que usar derivação logarítmica aqui? Porque temos uma função com potência em que a base depende de
(
) e também um expoente que depende de
(
e
). A derivação logarítmica transforma potências em produtos, simplificando a diferenciação. A ideia principal: se
, então
é mais fácil de derivar, e valem as identidades
e
Passo 3
Aplicando
a ambos os lados (definindo
):
Usando
e
, obtemos
Passo 4
Agora derivamos ambos os lados em relação a
. À esquerda usamos
. À direita aplicamos regras básicas:
- Derivada de
é . - Para
usamos a regra do produto: se e , então
Aqui
e
(porque
— regra da cadeia com identidade interna
). Portanto
Substituindo, obtemos
Passo 5
Simplificamos a expressão do lado direito:
Agora isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Finalmente substituímos
: