Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:
p) f(x)=\frac{e^{x^{2}}}{(x+1)^{x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\frac{e^{x^{2}}}{(x+1)^{x^{2}}}.
Informações importantes dadas:
\text{função } f(x)=\frac{e^{x^{2}}}{(x+1)^{x^{2}}}.çã
A tarefa é obter f'(x).

Passo 2

Por que usar derivação logarítmica aqui? Porque temos uma função com potência em que a base depende de x ( (x+1)^{x^{2}}) e também um expoente que depende de x ( e^{x^{2}} e x^{2}). A derivação logarítmica transforma potências em produtos, simplificando a diferenciação. A ideia principal: se \,y=f(x)>0, então
\ln y
é mais fácil de derivar, e valem as identidades
\frac{d}{dx}\bigl(\ln y\bigr)=\frac{y'}{y},
e
\ln(a^{b})=b\ln a.

Passo 3

Aplicando \ln a ambos os lados (definindo y=f(x)):
\ln f(x)=\ln\!\bigl(e^{x^{2}}\bigr)-\ln\!\bigl((x+1)^{x^{2}}\bigr).
Usando \ln(e^{x^{2}})=x^{2} e \ln((x+1)^{x^{2}})=x^{2}\ln(x+1), obtemos
\ln f(x)=x^{2}-x^{2}\ln(x+1).

Passo 4

Agora derivamos ambos os lados em relação a x. À esquerda usamos \frac{d}{dx}(\ln f(x))=\frac{f'(x)}{f(x)}. À direita aplicamos regras básicas:
  • Derivada de \,x^{2} é 2x.
  • Para \,x^{2}\ln(x+1) usamos a regra do produto: se u(x)=x^{2} e v(x)=\ln(x+1), então
\frac{d}{dx}\bigl(u v\bigr)=u'v+uv'.
Aqui u'(x)=2x e v'(x)=\dfrac{1}{x+1} (porque \frac{d}{dx}\ln(x+1)=\frac{1}{x+1} — regra da cadeia com identidade interna x+1). Portanto
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\ln(x+1)\bigr)=2x\ln(x+1)+x^{2}\cdot\frac{1}{x+1}.
Substituindo, obtemos
\frac{f'(x)}{f(x)}=2x-\Bigl(2x\ln(x+1)+\frac{x^{2}}{x+1}\Bigr).

Passo 5

Simplificamos a expressão do lado direito:
\frac{f'(x)}{f(x)}=2x-2x\ln(x+1)-\frac{x^{2}}{x+1}.
Agora isolamos f'(x) multiplicando ambos os lados por f(x):
f'(x)=f(x)\left(2x-2x\ln(x+1)-\frac{x^{2}}{x+1}\right).
Finalmente substituímos f(x)=\dfrac{e^{x^{2}}}{(x+1)^{x^{2}}}:
f'(x)=\frac{e^{x^{2}}}{(x+1)^{x^{2}}}\left(2x-2x\ln(x+1)-\frac{x^{2}}{x+1}\right).

Resposta

f'(x)=\frac{e^{x^{2}}}{(x+1)^{x^{2}}}\left(2x-2x\ln(x+1)-\frac{x^{2}}{x+1}\right)

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