Use determinantes para determinar se as seguintes matrizes 2 \times 2 são não singulares:
\left[\begin{array}{ll}3 & 5 \\\\ 2 & 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para usar determinantes e decidir se a matriz 2\times2 abaixo é não singular:
A=\begin{pmatrix}3 & 5 \\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix}.
Informações dadas: os elementos da matriz são a_{11}=3, a_{12}=5, a_{21}=2 e a_{22}=4.
O que se quer: determinar, usando o determinante, se A é não singular (ou seja, invertível).]

Passo 2

Conceito importante (rápido e prático): para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}
o determinante é dado pela fórmula
\det\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
Explicando cada símbolo: a,b,c,d são os quatro elementos da matriz; ad é o produto do elemento superior esquerdo pelo inferior direito; bc é o produto do elemento superior direito pelo inferior esquerdo. A diferença ad-bc é um número único que resume se a matriz “tem inversa” ou não: se \det\neq0 então a matriz é não singular (invertível); se \det=0 então é singular (não invertível).]

Passo 3

Agora aplicando a fórmula ao caso concreto, identificando a=3, b=5, c=2 e d=4. Substituindo na expressão do determinante:
\det(A)=a d - b c = 3\cdot 4 - 5\cdot 2.

Passo 4

Calculemos os produtos passo a passo (sem pular nada):
3\cdot 4 = 12, \qquad 5\cdot 2 = 10.
Portanto
\det(A)=12-10.

Passo 5

Efetuando a subtração:
\det(A)=2.

Passo 6

Interpretação final: como \det(A)=2 e 2\neq0, pela propriedade dos determinantes a matriz A é não singular (ou seja, possui inversa). Um lembrete útil: para matriz 2\times2 a inversa, se desejada, seria
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix},
aqui seria A^{-1}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}4 & -5 \\[4pt] -2 & 3\end{pmatrix}, apenas como confirmação adicional.]

Resposta

\det(A)=2. Portanto a matriz é não singular.

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