Use determinantes para determinar se as seguintes matrizes 2 \times 2 são não singulares:
\left[\begin{array}{rr}3 & -6 \\\\ 2 & 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para usar determinantes e decidir se a matriz 2\times2 abaixo é não singular:
A=\begin{pmatrix}3 & -6 \\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix}.
Informações dadas:
  • A matriz A tem elementos a_{11}=3, a_{12}=-6, a_{21}=2, a_{22}=4.
  • A pergunta é: “essa matriz é não singular?” (i.e., invertível).]

Passo 2

O que significa “usar determinantes” aqui e por que funciona? Explicando devagar e de forma prática:
  • Para matrizes 2\times2 existe uma fórmula simples para o determinante. Se
M=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
então o determinante de M é dado por
\det(M)=ad-bc.
  • Interpretação prática: o determinante é um número associado à matriz. Para verificar se uma matriz é não singular (ou invertível), basta checar se o determinante é diferente de zero:
    • Se \det(M)\neq 0 então M é não singular (tem inversa).
    • Se \det(M)=0 então M é singular (não tem inversa).
  • Por que essa fórmula funciona para 2\times2? Pense na multiplicação dos elementos da diagonal principal a e d (produto ad) e depois subtrai-se o produto dos elementos da outra diagonal b e c (produto bc). Essa diferença mede a “área orientada” que a transformação linear associada à matriz aplica no plano; se a área for zero, a transformação colapsa o plano numa linha ou ponto (matriz singular).]

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula ao caso concreto. Usando a=3, b=-6, c=2, d=4:
  1. Calcular o produto da diagonal principal:
ad = 3 \cdot 4 = 12.
  1. Calcular o produto da outra diagonal:
bc = (-6) \cdot 2 = -12.
  1. Subtrair esses produtos para obter o determinante:
\det(A)=ad-bc = 12 - (-12).
  1. Fazer a conta final:
\det(A)=12+12=24.

Passo 4

Interpretação do resultado: como obtivemos \det(A)=24 e isso é diferente de zero ( 24\neq 0), concluímos que a matriz A é não singular — ou seja, ela é invertível e possui uma matriz inversa.

Resposta

A matriz é não singular, pois \det(A)=24\neq 0.

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