e pede para resolvê‑la usando o método indicado (Equações Homogêneas). As informações relevantes que temos:
Coeficiente de dx: M(x,y)=3x^{2}-y^{2}.
Coeficiente de dy: N(x,y)=x y-x^{3} y^{-1}.
A equação pode ser escrita como uma relação entre dy/dx e funções de x,y.
O objetivo final é encontrar a solução geral (implícita ou explícita) que relaciona x e y.
Passo 2
Primeiro colocamos a equação na forma dy/dx=\cdots. A partir de
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
temos
\frac{dy}{dx}=-\frac{M(x,y)}{N(x,y)}=-\frac{3x^{2}-y^{2}}{x y - x^{3} y^{-1}}.
Para evitar o termo com y^{-1} e simplificar, multiplicamos numerador e denominador por y:
Agora usamos a substituição padrão para equações homogêneas: definir
u=\frac{y}{x}\quad\text{ou seja}\quad y=u x.
Explicando rapidinho por que: quando M e N são homogêneos do mesmo grau, a razão -M/N depende apenas da razão y/x; então a substituição y=ux transforma a equação em uma para u em função de x. Também precisamos da derivada
\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}.
Substituindo y=u x em \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{y(3x^{2}-y^{2})}{x y^{2}-x^{3}}: