Use o método discutido em Equações Homogêneas e resolva as equações abaixo:
\left(3 x^{2}-y^{2}\right) d x+\left(x y-x^{3} y^{-1}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial na forma diferencial exata/1-forma
\left(3 x^{2}-y^{2}\right)\,dx+\left(x y-x^{3} y^{-1}\right)\,dy=0
e pede para resolvê‑la usando o método indicado (Equações Homogêneas). As informações relevantes que temos:
  • Coeficiente de dx: M(x,y)=3x^{2}-y^{2}.
  • Coeficiente de dy: N(x,y)=x y-x^{3} y^{-1}.
  • A equação pode ser escrita como uma relação entre dy/dx e funções de x,y.
    O objetivo final é encontrar a solução geral (implícita ou explícita) que relaciona x e y.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma dy/dx=\cdots. A partir de
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
temos
\frac{dy}{dx}=-\frac{M(x,y)}{N(x,y)}=-\frac{3x^{2}-y^{2}}{x y - x^{3} y^{-1}}.
Para evitar o termo com y^{-1} e simplificar, multiplicamos numerador e denominador por y:
\frac{dy}{dx}=-\frac{y(3x^{2}-y^{2})}{x y^{2}-x^{3}}.

Passo 3

Agora usamos a substituição padrão para equações homogêneas: definir
u=\frac{y}{x}\quad\text{ou seja}\quad y=u x.
Explicando rapidinho por que: quando M e N são homogêneos do mesmo grau, a razão -M/N depende apenas da razão y/x; então a substituição y=ux transforma a equação em uma para u em função de x. Também precisamos da derivada
\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}.
Substituindo y=u x em \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{y(3x^{2}-y^{2})}{x y^{2}-x^{3}}:
  • Calculamos o numerador:
y(3x^{2}-y^{2})=u x\bigl(3x^{2}-u^{2}x^{2}\bigr)=u x^{3}(3-u^{2}).
  • Calculamos o denominador:
x y^{2}-x^{3}=x(u^{2}x^{2})-x^{3}=x^{3}(u^{2}-1).
Portanto
\frac{dy}{dx}=-\frac{u x^{3}(3-u^{2})}{x^{3}(u^{2}-1)}=-\frac{u(3-u^{2})}{u^{2}-1},
que depende apenas de u, como esperado.

Passo 4

Igualamos a expressão obtida para \dfrac{dy}{dx} à expressão u+x\dfrac{du}{dx}:
u+x\frac{du}{dx}=-\frac{u(3-u^{2})}{u^{2}-1}.
Isolando x\dfrac{du}{dx}:
x\frac{du}{dx}=-\frac{u(3-u^{2})}{u^{2}-1}-u.
Colocamos o segundo termo sobre o mesmo denominador (u^{2}-1):
-\frac{u(3-u^{2})}{u^{2}-1}-u=-\frac{u(3-u^{2})}{u^{2}-1}-\frac{u(u^{2}-1)}{u^{2}-1}=-\frac{u(3-u^{2}+u^{2}-1)}{u^{2}-1}=-\frac{2u}{u^{2}-1}.
Então obtemos a equação separável
x\frac{du}{dx}=-\frac{2u}{u^{2}-1}.

Passo 5

Separando variáveis:
\frac{u^{2}-1}{u}\,du=-2\,\frac{dx}{x}.
Antes de integrar, decomponha o integrando à esquerda:
\frac{u^{2}-1}{u}=u-\frac{1}{u}.
Agora integramos ambos os lados:
\int\!\left(u-\frac{1}{u}\right)\,du=\int\!-2\,\frac{dx}{x}.
As integrais são básicas:
\frac{1}{2}u^{2}-\ln|u|=-2\ln|x|+C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Multiplicando por 2 para simplificar:
u^{2}-2\ln|u|=-4\ln|x|+C_{1}.
Agora voltamos à variável original y usando u=\dfrac{y}{x}. Note que
\ln|u|=\ln\left|\frac{y}{x}\right|=\ln|y|-\ln|x|.
Substituindo em u^{2}-2\ln|u|+4\ln|x|=C_{1} (reorganizando o termo de \ln|x| para o lado esquerdo) obtemos:
\frac{y^{2}}{x^{2}}-2\ln\left|\frac{y}{x}\right|+4\ln|x|=C_{1}.
Fazendo a expansão de \ln\left|\dfrac{y}{x}\right| e juntando termos em \ln|x|,
\frac{y^{2}}{x^{2}}-2\ln|y|+6\ln|x|=C_{1}.
Podemos renomear a constante C_{1} para C. Esta é a solução implícita geral da equação diferencial.

Resposta

\dfrac{y^{2}}{x^{2}}-2\ln|y|+6\ln|x|=C

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