Use o método das divisões sucessivas para calcular o Máximo Divisor Comum e a Identidade de Bezout para os pares abaixo. Ainda, verifique o mdc encontrado através do Teorema Fundamental da Aritmética, ou seja, através de fatorações.
c) 10 e 7

Passo 1

O enunciado pede:
  • Calcular o Máximo Divisor Comum (mdc) de \,10 e \,7 usando o método das divisões sucessivas (algoritmo de Euclides).
  • Achar a identidade de Bezout, ou seja, inteiros (x,y) tais que \,10x+7y=\gcd(10,7).
  • Verificar o mdc encontrado usando o Teorema Fundamental da Aritmética (fatorações primárias).
Informações dadas:
  • Os dois inteiros são \,10 e \,7.

Passo 2

Explicando o método (rapidinho e com calma): o algoritmo de Euclides faz divisões sucessivas do maior pelo menor e guarda restos. Em cada passo escreve-se uma igualdade do tipo
a = b\cdot q + r,
onde a é o dividendo, b o divisor, q o quociente inteiro, e r o resto com 0 \le r < b. Repetimos substituindo (a,b)\leftarrow(b,r) até obter resto zero; o último resto não nulo é o \gcd.
Aplicando a ideia a \,10 e \,7. Como 10>7, dividimos 10 por 7:
10 = 7\cdot 1 + 3.
Aqui q=1 e r=3. Como o resto não é zero, continuamos dividindo agora 7 por 3:
7 = 3\cdot 2 + 1.
Aqui q=2 e r=1. Continuamos: dividir 3 por 1:
3 = 1\cdot 3 + 0.
O resto agora é 0, então o último resto não nulo é 1. Portanto
\gcd(10,7)=1.
Pequeno comentário motivador: isso já diz que 10 e 7 são coprimos (não têm divisor comum maior que 1).

Passo 3

Agora vamos obter a identidade de Bezout por retro-substituição (o truque padrão): usamos as igualdades não-zeradas que obtivemos e escrevemos o último resto não-nulo ( 1) como combinação linear de 10 e 7.
Das divisões temos:
10 = 7\cdot 1 + 3 \quad\Rightarrow\quad 3 = 10 - 7\cdot 1.
7 = 3\cdot 2 + 1 \quad\Rightarrow\quad 1 = 7 - 3\cdot 2.
Substituímos a expressão de 3 na segunda igualdade:
1 = 7 - 2\cdot(3) = 7 - 2\cdot(10 - 7\cdot 1).
Agora distribuímos e agrupamos os termos para escrever em função de 10 e 7:
1 = 7 - 2\cdot 10 + 2\cdot 7 = -2\cdot 10 + 3\cdot 7.
Então encontramos inteiros x e y tais que \,10x+7y=1, precisamente
x = -2,\qquad y = 3.
Verificação direta (checar sempre!): calcular 10\cdot(-2)+7\cdot 3 = -20+21 = 1. Está correto.
Observação didática: a identidade de Bezout dá uma solução particular; todas as soluções inteiras são dadas por
x = x_0 + \frac{7}{\gcd(10,7)}\cdot t,\qquad y = y_0 - \frac{10}{\gcd(10,7)}\cdot t,
para t\in\mathbb{Z}. Como \gcd(10,7)=1, as soluções variam por múltiplos de 7 em x e de 10 em y. Aqui a solução particular é (x_0,y_0)=(-2,3).

Passo 4

Verificação do \gcd por fatoração (Teorema Fundamental da Aritmética): fatorar cada número em primos e tomar o produto dos primos comuns com o menor expoente.
Fatorações:
10 = 2\cdot 5, \qquad 7 = 7 \quad(\text{primo}).
Primos presentes em ambas as fatorações: nenhum (o conjunto primo de 10 é \{2,5\}; o de 7 é \{7\}; interseção vazia). Logo o produto dos fatores comuns é 1. Portanto a fatoração confirma que
\gcd(10,7)=1,
o mesmo resultado obtido pelo algoritmo de Euclides.

Passo 5

Recapitulando e concluindo de forma clara e útil para a prova:
  • Pelo algoritmo de Euclides obtém-se \gcd(10,7)=1.
  • Através da retro-substituição encontramos a identidade de Bezout -2\cdot 10 + 3\cdot 7 = 1, isto é, (x,y)=(-2,3).
  • A verificação por fatoração também dá \gcd(10,7)=1 (nenhum primo comum).

Resposta

\gcd(10,7)=1
Identidade de Bezout: 10\cdot(-2)+7\cdot 3=1

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