Use o método das divisões sucessivas para calcular o Máximo Divisor Comum e a Identidade de Bezout para os pares abaixo. Ainda, verifique o mdc encontrado através do Teorema Fundamental da Aritmética, ou seja, através de fatorações.
c) 10 e 7
c) 10 e 7
Passo 1
O enunciado pede:
- Calcular o Máximo Divisor Comum (mdc) de
e usando o método das divisões sucessivas (algoritmo de Euclides). - Achar a identidade de Bezout, ou seja, inteiros
tais que . - Verificar o mdc encontrado usando o Teorema Fundamental da Aritmética (fatorações primárias).
Informações dadas:
- Os dois inteiros são
e .
Passo 2
Explicando o método (rapidinho e com calma): o algoritmo de Euclides faz divisões sucessivas do maior pelo menor e guarda restos. Em cada passo escreve-se uma igualdade do tipo
onde
é o dividendo,
o divisor,
o quociente inteiro, e
o resto com
. Repetimos substituindo
até obter resto zero; o último resto não nulo é o
.
Aplicando a ideia a
e
. Como
, dividimos
por
:
Aqui
e
. Como o resto não é zero, continuamos dividindo agora
por
:
Aqui
e
. Continuamos: dividir
por
:
O resto agora é
, então o último resto não nulo é
. Portanto
Pequeno comentário motivador: isso já diz que
e
são coprimos (não têm divisor comum maior que
).
Passo 3
Agora vamos obter a identidade de Bezout por retro-substituição (o truque padrão): usamos as igualdades não-zeradas que obtivemos e escrevemos o último resto não-nulo (
) como combinação linear de
e
.
Das divisões temos:
Substituímos a expressão de
na segunda igualdade:
Agora distribuímos e agrupamos os termos para escrever em função de
e
:
Então encontramos inteiros
e
tais que
, precisamente
Verificação direta (checar sempre!): calcular
. Está correto.
Observação didática: a identidade de Bezout dá uma solução particular; todas as soluções inteiras são dadas por
para
. Como
, as soluções variam por múltiplos de
em
e de
em
. Aqui a solução particular é
.
Passo 4
Verificação do
por fatoração (Teorema Fundamental da Aritmética): fatorar cada número em primos e tomar o produto dos primos comuns com o menor expoente.
Fatorações:
Primos presentes em ambas as fatorações: nenhum (o conjunto primo de
é
; o de
é
; interseção vazia). Logo o produto dos fatores comuns é
. Portanto a fatoração confirma que
o mesmo resultado obtido pelo algoritmo de Euclides.
Passo 5
Recapitulando e concluindo de forma clara e útil para a prova:
- Pelo algoritmo de Euclides obtém-se
. - Através da retro-substituição encontramos a identidade de Bezout
, isto é, . - A verificação por fatoração também dá
(nenhum primo comum).
Resposta
Identidade de Bezout: