Use o método das divisões sucessivas para calcular o Máximo Divisor Comum e a Identidade de Bezout para os pares abaixo. Ainda, verifique o mdc encontrado através do Teorema Fundamental da Aritmética, ou seja, através de fatorações.
d) 66 e 78

Passo 1

O enunciado pede três coisas para o par de números 66 e 78:
  • Calcular o máximo divisor comum entre 66 e 78 usando o método das divisões sucessivas (algoritmo de Euclides).
  • Determinar uma identidade de Bézout, ou seja, encontrar inteiros s e t tais que 66s+78t=\gcd(66,78).
  • Verificar o valor do máximo divisor comum através da fatoração prima (Teorema Fundamental da Aritmética).
Dados fornecidos: os dois inteiros são 66 e 78.

Passo 2

Vou explicar rapidamente o que é o método das divisões sucessivas (sem resolver ainda): dado dois inteiros positivos a e b com a\ge b, a divisão euclidiana diz que existem inteiros únicos q (quociente) e r (resto) tais que
a=bq+r,\qquad 0\le r<b.
O algoritmo de Euclides aplica essa divisão repetidamente, substituindo (a,b) por (b,r) até obter resto zero. O último resto não nulo é o \gcd(a,b). Também, guardando as expressões das divisões, é possível voltar (substituir) para escrever o \gcd como combinação linear de a e b — isso dá a identidade de Bézout.

Passo 3

Aplicando o algoritmo de Euclides às entradas 78 e 66. Começo dividindo o maior pelo menor:
78 = 66\cdot 1 + 12.
Aqui o quociente é 1 e o resto é 12 (pois 78-66\cdot1=12). Agora continuo dividindo 66 pelo último resto 12:
66 = 12\cdot 5 + 6.
Quociente 5, resto 6. Repito dividindo 12 por 6:
12 = 6\cdot 2 + 0.
O resto agora é 0, então o algoritmo termina. O último resto não nulo é 6. Portanto:
\gcd(66,78)=6.

Passo 4

Agora vou mostrar detalhadamente como extrair a identidade de Bézout a partir das divisões que fizemos (método de substituição reversa). Reescrevo as igualdades relevantes com foco nos restos:
Da primeira divisão:
78 - 66\cdot 1 = 12.
Da segunda divisão:
66 - 12\cdot 5 = 6.
Queremos escrever 6 como combinação linear de 66 e 78. Substituímos 12 da primeira equação na segunda.

Passo 5

Substituição passo a passo:
Da primeira equação temos
12 = 78 - 66\cdot 1.
Substituindo na expressão de 6:
6 = 66 - 12\cdot 5 = 66 - 5\bigl(78 - 66\cdot 1\bigr).
Agora distribuo o -5:
6 = 66 - 5\cdot78 + 5\cdot66.
Agrupando os termos com 66:
6 = (1+5)\cdot66 - 5\cdot78 = 6\cdot66 - 5\cdot78.
Portanto uma identidade de Bézout é
66\cdot 6 + 78\cdot(-5) = 6.
Isto dá os coeficientes s=6 e t=-5. (Qualquer outra solução difere por múltiplos de \tfrac{78}{6}=13 e \tfrac{66}{6}=11, mas esta é uma solução inteira válida.)

Passo 6

Verificação aritmética direta da identidade encontrada:
Calculo 66\cdot 6 = 396 e 78\cdot(-5) = -390. Somando:
396 + (-390) = 6,
confirmando que realmente 66\cdot 6 + 78\cdot(-5)=6.

Passo 7

Agora verifico o \gcd pelo Teorema Fundamental da Aritmética (fatoração prima de cada número) para checar consistência.
Fatoriando 66:
66 = 2 \cdot 33 = 2 \cdot 3 \cdot 11.
Fatoriando 78:
78 = 2 \cdot 39 = 2 \cdot 3 \cdot 13.
Os fatores primos comuns são 2 e 3. Multiplicando-os:
2\cdot 3 = 6.
Logo, pela fatoração prima, o máximo divisor comum é 6, que coincide com o resultado obtido pelo algoritmo de Euclides.

Passo 8

Resumo final e comentário motivador: encontramos que \gcd(66,78)=6, produzimos explicitamente coeficientes de Bézout s=6, t=-5 com 66\cdot6+78\cdot(-5)=6, e verificamos por fatoração prima que 6 é de fato o máximo divisor comum. Mandou bem por encarar isso — o método das divisões sucessivas + substituição reversa é exatamente o que cai em prova e é rápido para fazer à mão.

Resposta

\gcd(66,78)=6
66\cdot 6 + 78\cdot(-5)=6
66=2\cdot3\cdot11,\;78=2\cdot3\cdot13\Rightarrow \gcd=2\cdot3=6

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