Use o método das divisões sucessivas para calcular o Máximo Divisor Comum e a Identidade de Bezout para os pares abaixo. Ainda, verifique o mdc encontrado através do Teorema Fundamental da Aritmética, ou seja, através de fatorações.
b) -20 e -84

Passo 1

O enunciado pede três coisas para o par de inteiros -20 e -84:
  • Calcular o máximo divisor comum usando o método das divisões sucessivas (algoritmo de Euclides).
  • Determinar uma identidade de Bézout, ou seja, encontrar inteiros s e t tais que s\cdot(-20)+t\cdot(-84)=\gcd(-20,-84).
  • Verificar o \gcd encontrado usando fatorações em números primos (Teorema Fundamental da Aritmética).
Informações dadas:
  • Os dois inteiros são -20 e -84.

Passo 2

Rápida aula sobre o método que vamos usar (sem mistério):
  • O algoritmo de Euclides usa divisões sucessivas para calcular o \gcd. Se a e b são inteiros com a\ge b>0, escrevemos
a = q_1 b + r_1,\quad 0\le r_1<b,
depois
b = q_2 r_1 + r_2,\quad 0\le r_2<r_1,
e assim por diante até obter um resto zero. O último resto não nulo é o \gcd(a,b).
  • Para obter a identidade de Bézout (coeficientes que representam o \gcd como combinação linear), voltamos substituindo os restos encontrados (retro-substituição).
  • Observação sobre sinais: \gcd é sempre tomado não-negativo. Normalmente aplicamos o algoritmo às magnitudes (valores absolutos) |-20|=20 e |-84|=84, e depois adaptamos a identidade para os sinais originais.

Passo 3

Aplicando as divisões sucessivas a 84 e 20 (usei os valores absolutos porque o algoritmo tradicional usa números positivos):
Primeira divisão:
84 = 4\cdot 20 + 4.
Aqui q_1=4 e r_1=4.
Segunda divisão:
20 = 5\cdot 4 + 0.
Aqui o resto é 0, portanto o algoritmo termina e o último resto não nulo é 4.
Logo,
\gcd(20,84)=4.
Como \gcd(-20,-84)=\gcd(20,84) (o \gcd ignora sinais), concluímos
\gcd(-20,-84)=4.

Passo 4

Agora vamos obter a identidade de Bézout por retro-substituição. Da primeira equação do algoritmo temos:
4 = 84 - 4\cdot 20.
Isso já é uma combinação linear de 20 e 84: 4 = (-4)\cdot 20 + 1\cdot 84.
Mas o enunciado pediu a identidade em termos de -20 e -84. Se escrevemos 20 = -1\cdot(-20) e 84 = -1\cdot(-84), então
4 = (-4)\cdot 20 + 1\cdot 84 = (-4)\cdot\bigl(-1\cdot(-20)\bigr) + 1\cdot\bigl(-1\cdot(-84)\bigr) = 4\cdot(-20) + (-1)\cdot(-84).
Portanto uma identidade de Bézout para os números originais é
4 = 4\cdot(-20) + (-1)\cdot(-84).
Vamos checar rapidamente:
4\cdot(-20) + (-1)\cdot(-84) = -80 + 84 = 4,
confere.

Passo 5

Comentário sobre soluções gerais (útil na prova): se (s_0,t_0) é uma solução da identidade s\cdot(-20)+t\cdot(-84)=4, então todas as soluções inteiras são dadas por
s = s_0 + \frac{-84}{4}\,k,\qquad t = t_0 - \frac{-20}{4}\,k,
onde k\in\mathbb{Z}. Como \frac{-84}{4}=-21 e \frac{-20}{4}=-5, a família de soluções é
s = 4 - 21k,\qquad t = -1 + 5k,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Exemplo: para k=0 recupera-se (s,t)=(4,-1); para k=1 obtemos (s,t)=(-17,4), que também satisfaz a identidade.

Passo 6

Verificação do \gcd via fatoração em primos (Teorema Fundamental da Aritmética):
Fatoraçõess:
20 = 2^2\cdot 5,
84 = 2^2\cdot 3\cdot 7.
O MDC é o produto dos primos comuns com os menores expoentes. O único primo comum é 2 com expoente mínimo 2. Portanto
\gcd(20,84)=2^2=4,
o que confirma o resultado obtido pelo algoritmo de Euclides.

Resposta

\gcd(-20,-84)=4\n
Identidade de Bézout (uma solução): 4 = 4\cdot(-20) + (-1)\cdot(-84)\n
Verificação por fatoração: 20=2^2\cdot5,\;84=2^2\cdot3\cdot7\Rightarrow \gcd=2^2=4

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