Use o método das divisões sucessivas para calcular o Máximo Divisor Comum e a Identidade de Bezout para os pares abaixo. Ainda, verifique o mdc encontrado através do Teorema Fundamental da Aritmética, ou seja, através de fatorações.
a) -20 e 84
a) -20 e 84
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para os números
e
:
- Calcular o Máximo Divisor Comum (mdc).
- Encontrar a Identidade de Bézout, ou seja, inteiros
tais que .
Além disso, é pedido verificar o resultado do mdc usando fatorações (Teorema Fundamental da Aritmética).
Informações dadas:
- Os dois inteiros são
e .
Observação importante (útil para começar): o mdc é sempre tomado não negativo, e vale
Então podemos trabalhar com
e
sem perder generalidade.
Passo 2
Explicando o método das divisões sucessivas (Algoritmo de Euclides) de forma didática:
- A ideia é dividir o maior pelo menor, pegar o resto, então dividir o divisor pelo resto, e assim por diante, até obter resto zero. O último resto não nulo é o mdc.
- Em fórmula: se fizermos divisões sucessivas
o processo termina quando algum
. Então
.
Aplicando aos valores (usando valores absolutos): vamos calcular
.
Primeira divisão: dividir por
.
Primeira divisão: dividir
pois
e o resto é
.
Segunda divisão: dividir
por
.
pois
e o resto é
.
Como o resto ficou zero, o último resto não nulo é
. Logo
E por
temos
Passo 3
Agora vamos obter a Identidade de Bézout usando retro-substituição (algoritmo extendido de Euclides).
Temos da primeira divisão a igualdade
Temos da primeira divisão a igualdade
Essa já é uma expressão de
como combinação linear de
e
:
Mas o enunciado pede a combinação usando exatamente
(não
). Observando que
, podemos reescrever:
Substituindo na expressão anterior:
Ou, escrevendo na ordem pedida,
Portanto, uma identidade de Bézout válida é
Explicação curta do porquê funciona: o algoritmo estende as divisões sucessivas mantendo cada resto como combinação linear dos dois números iniciais; aqui o processo foi curto e a primeira igualdade já deu a combinação.
Passo 4
Verificação do resultado do mdc pelo Teorema Fundamental da Aritmética (fatorações):
- Fatoração de
:
- Fatoração de
:
O mdc é o produto dos primos comuns com os menores expoentes. Os primos comuns são apenas
com expoente mínimo
. Logo
Isso confirma o resultado obtido pelo Algoritmo de Euclides. Como antes, isto implica
.
Passo 5
Comentário final e incentivo rápido:
- Resultado encontrado é consistente por dois métodos diferentes (divisões sucessivas e fatoração).
- A identidade de Bézout encontrada é prática na prova: basta lembrar que a retro-substituição no passo que gerou o último resto não nulo normalmente dá diretamente os coeficientes.
- Se quiser, dá para gerar todas as soluções inteiras da identidade: se
é uma solução particular (aqui ), então todas as soluções são
para todo
. (Só uma nota extra — não era pedido, mas ajuda a entender a família de soluções.)