Use o método das divisões sucessivas para calcular o Máximo Divisor Comum e a Identidade de Bezout para os pares abaixo. Ainda, verifique o mdc encontrado através do Teorema Fundamental da Aritmética, ou seja, através de fatorações.
a) -20 e 84

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para os números -20 e 84:
  • Calcular o Máximo Divisor Comum (mdc).
  • Encontrar a Identidade de Bézout, ou seja, inteiros x,y tais que \gcd(-20,84)=(-20)x+84y.
    Além disso, é pedido verificar o resultado do mdc usando fatorações (Teorema Fundamental da Aritmética).
Informações dadas:
  • Os dois inteiros são -20 e 84.
Observação importante (útil para começar): o mdc é sempre tomado não negativo, e vale
\gcd(a,b)=\gcd(|a|,|b|).
Então podemos trabalhar com 20 e 84 sem perder generalidade.

Passo 2

Explicando o método das divisões sucessivas (Algoritmo de Euclides) de forma didática:
  • A ideia é dividir o maior pelo menor, pegar o resto, então dividir o divisor pelo resto, e assim por diante, até obter resto zero. O último resto não nulo é o mdc.
  • Em fórmula: se fizermos divisões sucessivas
r_{-1}=a,\qquad r_0=b,
r_{k-1}=q_k r_k + r_{k+1},\qquad 0\le r_{k+1}<r_k,
o processo termina quando algum r_{n+1}=0. Então \gcd(a,b)=r_n.
Aplicando aos valores (usando valores absolutos): vamos calcular \gcd(20,84).
Primeira divisão: dividir 84 por 20.
84 = 20\cdot 4 + 4,
pois 20\cdot 4=80 e o resto é 84-80=4.
Segunda divisão: dividir 20 por 4.
20 = 4\cdot 5 + 0,
pois 4\cdot 5=20 e o resto é 0.
Como o resto ficou zero, o último resto não nulo é 4. Logo
\gcd(20,84)=4.
E por \gcd(a,b)=\gcd(|a|,|b|) temos
\gcd(-20,84)=4.

Passo 3

Agora vamos obter a Identidade de Bézout usando retro-substituição (algoritmo extendido de Euclides).
Temos da primeira divisão a igualdade
4 = 84 - 20\cdot 4.
Essa já é uma expressão de 4 como combinação linear de 84 e 20:
4 = 1\cdot 84 + (-4)\cdot 20.
Mas o enunciado pede a combinação usando exatamente -20 (não 20). Observando que 20 = -1\cdot(-20), podemos reescrever:
-4\cdot 20 = -4\cdot(-1)\cdot(-20) = 4\cdot(-20).
Substituindo na expressão anterior:
4 = 1\cdot 84 + 4\cdot(-20).
Ou, escrevendo na ordem pedida,
4 = 4\cdot(-20) + 1\cdot 84.
Portanto, uma identidade de Bézout válida é
\gcd(-20,84)=4 = 4\cdot(-20) + 1\cdot 84.
Explicação curta do porquê funciona: o algoritmo estende as divisões sucessivas mantendo cada resto como combinação linear dos dois números iniciais; aqui o processo foi curto e a primeira igualdade já deu a combinação.

Passo 4

Verificação do resultado do mdc pelo Teorema Fundamental da Aritmética (fatorações):
  • Fatoração de 20:
20 = 2^2\cdot 5.
  • Fatoração de 84:
84 = 2^2\cdot 3\cdot 7.
O mdc é o produto dos primos comuns com os menores expoentes. Os primos comuns são apenas 2 com expoente mínimo 2. Logo
\gcd(20,84)=2^2=4.
Isso confirma o resultado obtido pelo Algoritmo de Euclides. Como antes, isto implica \gcd(-20,84)=4.

Passo 5

Comentário final e incentivo rápido:
  • Resultado encontrado é consistente por dois métodos diferentes (divisões sucessivas e fatoração).
  • A identidade de Bézout encontrada é prática na prova: basta lembrar que a retro-substituição no passo que gerou o último resto não nulo normalmente dá diretamente os coeficientes.
  • Se quiser, dá para gerar todas as soluções inteiras da identidade: se (x_0,y_0) é uma solução particular (aqui (4,1)), então todas as soluções são
\bigl(x_0 + \tfrac{84}{4}k,\; y_0 - \tfrac{-20}{4}k\bigr)=\bigl(4+21k,\;1+5k\bigr),
para todo k\in\mathbb{Z}. (Só uma nota extra — não era pedido, mas ajuda a entender a família de soluções.)

Resposta

\gcd(-20,84)=4
4 = 4\cdot(-20) + 1\cdot 84

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