\text{A matriz }B\text{ é }4\times 4\text{, explicitada acima.}é
Pergunta: determinar B^{-1}, a matriz inversa de B.]
Passo 2
Explicando o método (aula rápida e prática): vamos usar o procedimento de eliminação por linhas (Gauss–Jordan). A ideia é montar a matriz aumentada [B\mid I], onde I é a identidade 4\times 4, e aplicar operações elementares sobre linhas até transformar o bloco esquerdo em I. Essas operações não mudam a solução do sistema equivalente, e quando o bloco esquerdo ficar igual a I, o bloco direito será exatamente B^{-1}.
multiplicar uma linha por um escalar diferente de zero (kR_i);
somar a uma linha um múltiplo escalar de outra (R_i \leftarrow R_i + kR_j).
Vamos montar a matriz aumentada e aplicar essas operações de forma organizada. Sempre que eu fizer uma operação, mostrarei a matriz resultante e explicarei o efeito sobre o bloco direito (a futura inversa).
Observação: já temos pivôs iguais a 1 nas colunas 1 a 4 (diagonal), e zeros abaixo da diagonal; o que falta é eliminar os elementos acima da diagonal (as entradas que aparecem à direita dos pivôs), para que o bloco esquerdo vire a identidade. Como os pivôs são 1, não precisamos escalar linhas; só precisamos usar combinações do tipo R_i \leftarrow R_i - kR_j para zerar entradas acima dos pivôs.]
Passo 4
Começamos pelo pivô da linha 4 (coluna 4), que é 1. Queremos zerar as entradas na coluna 4 acima desse pivô. As entradas na coluna 4 são:
Explicação das colunas de direita (breve): a linha 3 do bloco direito ficou (0,0,1,-2) porque partimos de (0,0,1,0) e subtraímos 2 vezes (0,0,0,1). A linha 2 do bloco direito ficou (0,1,0,-4) por razão análoga.]
Passo 5
Agora o pivô da linha 3 (coluna 3) é 1. Eliminamos as entradas acima dele na coluna 3. As entradas em coluna 3 atualmente são:
Verificação rápida do bloco direito: por exemplo, a nova linha 1 do bloco direito é (1,0,-4,8) porque começamos com (1,0,0,0) e subtraímos 4 vezes (0,0,1,-2).]
Passo 6
Agora o pivô da linha 2 (coluna 2) é 1. Eliminamos a entrada acima dele na coluna 2 (que é 2 em R_1):
Pequena verificação mental: como B é triangular superior com diagonais 1, B^{-1} também é triangular superior; multiplicando B por esta B^{-1} recupera a identidade (confere as combinações lineares feitas nas operações).]