Use o método de Gauss-Jordan para encontrar a inversa das matrizes a seguir:
B=\left[\begin{array}{llll}1 & 2 & 4 & 0 \\\\ 0 & 1 & 2 & 4 \\\\ 0 & 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a inversa da matriz
B=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 4\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Informações fornecidas:
\text{A matriz }B\text{ é }4\times 4\text{, explicitada acima.}é
Pergunta: determinar B^{-1}, a matriz inversa de B.]

Passo 2

Explicando o método (aula rápida e prática): vamos usar o procedimento de eliminação por linhas (Gauss–Jordan). A ideia é montar a matriz aumentada [B\mid I], onde I é a identidade 4\times 4, e aplicar operações elementares sobre linhas até transformar o bloco esquerdo em I. Essas operações não mudam a solução do sistema equivalente, e quando o bloco esquerdo ficar igual a I, o bloco direito será exatamente B^{-1}.
Operações elementares permitidas (lembrete prático):
  • trocar duas linhas ( R_i\leftrightarrow R_j);
  • multiplicar uma linha por um escalar diferente de zero ( kR_i);
  • somar a uma linha um múltiplo escalar de outra ( R_i \leftarrow R_i + kR_j).
Vamos montar a matriz aumentada e aplicar essas operações de forma organizada. Sempre que eu fizer uma operação, mostrarei a matriz resultante e explicarei o efeito sobre o bloco direito (a futura inversa).

Passo 3

Montamos a matriz aumentada inicial [B\mid I]:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 2 & 4 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 4 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Observação: já temos pivôs iguais a 1 nas colunas 1 a 4 (diagonal), e zeros abaixo da diagonal; o que falta é eliminar os elementos acima da diagonal (as entradas que aparecem à direita dos pivôs), para que o bloco esquerdo vire a identidade. Como os pivôs são 1, não precisamos escalar linhas; só precisamos usar combinações do tipo R_i \leftarrow R_i - kR_j para zerar entradas acima dos pivôs.]

Passo 4

Começamos pelo pivô da linha 4 (coluna 4), que é 1. Queremos zerar as entradas na coluna 4 acima desse pivô. As entradas na coluna 4 são:
\text{coluna 4: } \begin{pmatrix}0\\[2pt]4\\[2pt]2\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Para zerá-las:
  • R_3 \leftarrow R_3 - 2R_4 (para anular o 2 na linha 3),
  • R_2 \leftarrow R_2 - 4R_4 (para anular o 4 na linha 2).
Aplicando essas duas operações simultaneamente obtemos:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 2 & 4 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & -4\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Explicação das colunas de direita (breve): a linha 3 do bloco direito ficou (0,0,1,-2) porque partimos de (0,0,1,0) e subtraímos 2 vezes (0,0,0,1). A linha 2 do bloco direito ficou (0,1,0,-4) por razão análoga.]

Passo 5

Agora o pivô da linha 3 (coluna 3) é 1. Eliminamos as entradas acima dele na coluna 3. As entradas em coluna 3 atualmente são:
\text{coluna 3: } \begin{pmatrix}4\\[2pt]2\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Para zerá-las:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 2R_3 (anula o 2 em R_2),
  • R_1 \leftarrow R_1 - 4R_3 (anula o 4 em R_1).
Aplicando:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & -4 & 8\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Verificação rápida do bloco direito: por exemplo, a nova linha 1 do bloco direito é (1,0,-4,8) porque começamos com (1,0,0,0) e subtraímos 4 vezes (0,0,1,-2).]

Passo 6

Agora o pivô da linha 2 (coluna 2) é 1. Eliminamos a entrada acima dele na coluna 2 (que é 2 em R_1):
  • R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2.
Aplicando:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 8\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Agora o bloco esquerdo é exatamente a identidade 4\times 4. Pelo método, o bloco direito é B^{-1}.]

Passo 7

Escrevendo explicitamente o bloco direito (que é B^{-1}):
B^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 8\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Pequena verificação mental: como B é triangular superior com diagonais 1, B^{-1} também é triangular superior; multiplicando B por esta B^{-1} recupera a identidade (confere as combinações lineares feitas nas operações).]

Resposta

B^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 8\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}]

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