Use os métodos discutidos em Equações na forma
e em Equações com coeficientes lineares e resolva as equações diferenciais:
Passo 1
Enunciado: resolver a equação diferencial
Informações dadas e o que é preciso encontrar:
- A incógnita é a função
. - O lado direito contém
. Logo a expressão dentro da raiz deve ser não negativa:
quando a solução for válida.
- A tarefa é encontrar a solução geral (família de soluções) e mencionar soluções especiais se existirem.
Passo 2
Identificar uma substituição útil (explicação didática do método).
- Quando a equação tem a forma
é natural tentar a mudança de variável
porque aí
e dá para eliminar
em favor de
.
- No nosso caso o argumento da raiz é
, que é linear em e . Portanto escolhemos
Agora calculamos
em termos de
. Como
,
Isto é, isolando
,
Substituímos essa expressão na equação dada.
Passo 3
Substituição na equação e obtenção de uma equação separável.
- Substituindo
em
obtemos
- Simplificando (cancelando os
dos dois lados),
- Esta equação é separável: podemos escrever
Passo 4
Integração e obtenção da solução geral para
.
- Integramos os dois lados:
- A primitiva de
é . Portanto
onde
é a constante de integração.
- Isolando
,
Passo 5
Voltar à variável
e escrever a solução geral; verificação e domínio de validade.
- Lembrando
, obtemos
ou seja
com
.
- Verificação rápida: calcule
. Temos
Por outro lado,
Para que a igualdade
seja satisfeita precisamos que
, ou seja,
. Assim a expressão encontrada só resolve a equação na região onde
- Além disso existe a solução constante associada a
. Se então . Verifica-se facilmente: e . Portanto é uma solução (esta solução satisfeita para todo ).
Observações sobre maximalidade e continuidade:
- O ramo não-trivial
é válido apenas para porque a derivada exigida pela equação tem de coincidir com a raiz positiva. Em tem-se e pode haver comportamento não-único no sentido de que soluções podem “grudar” na reta por algum intervalo (isso ocorre porque a função não é Lipschitz em ). Não vamos explorar mais esses fenômenos aqui, só lembrar que a condição de domínio é necessária.