Use os métodos discutidos em Equações na forma y^{\prime}=G(a x+b y) e em Equações com coeficientes lineares e resolva as equações diferenciais:
\frac{d y}{d x}=\sqrt{-x+y}+1

Passo 1

Enunciado: resolver a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=\sqrt{-x+y}+1.
Informações dadas e o que é preciso encontrar:
  • A incógnita é a função y(x).
  • O lado direito contém \sqrt{-x+y}. Logo a expressão dentro da raiz deve ser não negativa:
-x+y \ge 0 \quad\text{(ou seja, \(y\ge x\))},
quando a solução for válida.
  • A tarefa é encontrar a solução geral (família de soluções) e mencionar soluções especiais se existirem.

Passo 2

Identificar uma substituição útil (explicação didática do método).
  • Quando a equação tem a forma y'=G(ax+by) é natural tentar a mudança de variável
u = ax+by,
porque aí du/dx = a + b\,y' e dá para eliminar y' em favor de u.
  • No nosso caso o argumento da raiz é -x+y, que é linear em x e y. Portanto escolhemos
u = -x + y = y - x.
Agora calculamos du/dx em termos de y'. Como u=y-x,
\frac{du}{dx} = \frac{dy}{dx} - 1.
Isto é, isolando \dfrac{dy}{dx},
\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}+1.
Substituímos essa expressão na equação dada.

Passo 3

Substituição na equação e obtenção de uma equação separável.
  • Substituindo \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{du}{dx}+1 em
    \dfrac{dy}{dx}=\sqrt{-x+y}+1 obtemos
\frac{du}{dx}+1=\sqrt{u}+1.
  • Simplificando (cancelando os +1 dos dois lados),
\frac{du}{dx}=\sqrt{u}.
  • Esta equação é separável: podemos escrever
u^{-1/2}\,du = dx.

Passo 4

Integração e obtenção da solução geral para u.
  • Integramos os dois lados:
\int u^{-1/2}\,du = \int dx.
  • A primitiva de u^{-1/2} é 2u^{1/2}. Portanto
2u^{1/2} = x + C,
onde C é a constante de integração.
  • Isolando u,
u^{1/2}=\frac{x+C}{2}\quad\Rightarrow\quad u=\frac{(x+C)^2}{4}.

Passo 5

Voltar à variável y e escrever a solução geral; verificação e domínio de validade.
  • Lembrando u=y-x, obtemos
y-x=\frac{(x+C)^2}{4},
ou seja
y(x)=x+\frac{(x+C)^2}{4},
com C\in\mathbb{R}.
  • Verificação rápida: calcule \dfrac{dy}{dx}. Temos
\frac{dy}{dx}=1+\frac{1}{2}(x+C).
Por outro lado,
\sqrt{-x+y}+1=\sqrt{u}+1=\frac{|x+C|}{2}+1.
Para que a igualdade \dfrac{dy}{dx}=\sqrt{-x+y}+1 seja satisfeita precisamos que \dfrac{1}{2}(x+C)=\dfrac{|x+C|}{2}, ou seja, x+C\ge 0. Assim a expressão encontrada só resolve a equação na região onde
x+C \ge 0 \quad\text{(ou seja, \(x\ge -C\))}.
  • Além disso existe a solução constante associada a u\equiv 0. Se u\equiv 0 então y=x. Verifica-se facilmente: \dfrac{d}{dx}(x)=1 e \sqrt{-x+y}+1=\sqrt{0}+1=1. Portanto y(x)=x é uma solução (esta solução satisfeita para todo x).
Observações sobre maximalidade e continuidade:
  • O ramo não-trivial y(x)=x+\dfrac{(x+C)^2}{4} é válido apenas para x\ge -C porque a derivada exigida pela equação tem de coincidir com a raiz positiva. Em x=-C tem-se u=0 e pode haver comportamento não-único no sentido de que soluções podem “grudar” na reta y=x por algum intervalo (isso ocorre porque a função \sqrt{u} não é Lipschitz em u=0). Não vamos explorar mais esses fenômenos aqui, só lembrar que a condição de domínio é necessária.

Resposta

y(x)=x+\dfrac{(x+C)^2}{4},\; C\in\mathbb{R}, válida para x\ge -C.
y(x)=x (solução singular).

Exercícios relacionados