Use as propriedades do logaritmo para simplificar a expressão:
Ovalor de S é:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá a expressão
e pede o valor de
. As informações relevantes são os três termos com logaritmos em bases
e os coeficientes
no denominador de cada parcela. A tarefa é simplificar essa soma usando propriedades de logaritmos e encontrar um número simples para
.
Passo 2
Vou usar uma propriedade prática dos logaritmos: a fórmula de mudança de base. Se tivermos logaritmos em qualquer base, podemos escrevê-los com log natural
assim:
Dessa fórmula segue imediatamente uma identidade muito útil (vou demonstrar passo a passo): invertendo ambos os lados,
Ou seja, para qualquer
(com
),
Isso é bom porque transforma uma fração com logaritmo em algo que também é um logaritmo, às vezes numa base mais conveniente.
Passo 3
Aplique a identidade
a cada parcela de
. Por exemplo, para o primeiro termo:
Portanto
Analogamente para os outros dois termos:
Logo podemos reescrever
como
Passo 4
Agora uso a propriedade que tira constantes multiplicativas para o expoente dentro do logaritmo: para qualquer
e
,
Aplicando isso a cada parcela:
Somando logaritmos de mesma base transformamos em um logaritmo do produto:
Passo 5
Para simplificar a expressão dentro do logaritmo, fatorize
em primos. Vamos fazer isso passo a passo:
E
. Portanto
Passo 6
Queremos ver se o número
pode ser escrito como uma potência de
. Escrevendo
com a fatoração encontrada:
Queremos
. Igualando expoentes para cada primo obtemos o sistema
Cada equação dá
, ou seja
Passo 7
Voltando para
,
E um logaritmo de uma potência simplifica assim:
Portanto
Passo 8
Check rápido numérico (só para confirmar):
, então o primeiro termo é cerca de
; os outros dois termos somam aproximadamente
; total aproximado
, consistente com
. Boa confirmação.