Use as propriedades do logaritmo para simplificar a expressão:
\mathrm{S}=\frac{1}{2 \cdot \log _{2} 2016}+\frac{1}{5 \cdot \log _{3} 2016}+\frac{1}{10 \cdot \log _{7} 2016}
Ovalor de S é:
a) \frac{1}{2}
b) \frac{1}{3}
c) \frac{1}{5}
d) \frac{1}{7}

Passo 1

O enunciado dá a expressão
\mathrm{S}=\frac{1}{2\cdot \log_{2}2016}+\frac{1}{5\cdot \log_{3}2016}+\frac{1}{10\cdot \log_{7}2016}
e pede o valor de \mathrm{S}. As informações relevantes são os três termos com logaritmos em bases \,2,\,3,\,7 e os coeficientes 2,\,5,\,10 no denominador de cada parcela. A tarefa é simplificar essa soma usando propriedades de logaritmos e encontrar um número simples para \mathrm{S}.

Passo 2

Vou usar uma propriedade prática dos logaritmos: a fórmula de mudança de base. Se tivermos logaritmos em qualquer base, podemos escrevê-los com log natural \ln assim:
\log_{a} b = \frac{\ln b}{\ln a}.
Dessa fórmula segue imediatamente uma identidade muito útil (vou demonstrar passo a passo): invertendo ambos os lados,
\frac{1}{\log_{a} b} = \frac{\ln a}{\ln b} = \log_{b} a.
Ou seja, para qualquer a,b>0 (com a\neq1,b\neq1),
\frac{1}{\log_{a} b}=\log_{b} a.
Isso é bom porque transforma uma fração com logaritmo em algo que também é um logaritmo, às vezes numa base mais conveniente.

Passo 3

Aplique a identidade \frac{1}{\log_{a} b}=\log_{b} a a cada parcela de \mathrm{S}. Por exemplo, para o primeiro termo:
\frac{1}{\log_{2}2016}=\log_{2016}2.
Portanto
\frac{1}{2\cdot \log_{2}2016}=\frac{1}{2}\log_{2016}2.
Analogamente para os outros dois termos:
\frac{1}{5\cdot \log_{3}2016}=\frac{1}{5}\log_{2016}3, \qquad \frac{1}{10\cdot \log_{7}2016}=\frac{1}{10}\log_{2016}7.
Logo podemos reescrever \mathrm{S} como
\mathrm{S}=\frac{1}{2}\log_{2016}2+\frac{1}{5}\log_{2016}3+\frac{1}{10}\log_{2016}7.

Passo 4

Agora uso a propriedade que tira constantes multiplicativas para o expoente dentro do logaritmo: para qualquer k e x>0,
k\log_{b}x=\log_{b}x^{k}.
Aplicando isso a cada parcela:
\frac{1}{2}\log_{2016}2=\log_{2016}2^{\frac{1}{2}}, \qquad \frac{1}{5}\log_{2016}3=\log_{2016}3^{\frac{1}{5}}, \qquad \frac{1}{10}\log_{2016}7=\log_{2016}7^{\frac{1}{10}}.
Somando logaritmos de mesma base transformamos em um logaritmo do produto:
\mathrm{S}=\log_{2016}\!\left(2^{\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{5}}\cdot 7^{\frac{1}{10}}\right).

Passo 5

Para simplificar a expressão dentro do logaritmo, fatorize 2016 em primos. Vamos fazer isso passo a passo:
2016 = 2\times 1008 = 2^{2}\times 504 = 2^{3}\times 252 = 2^{4}\times 126 = 2^{5}\times 63.
E 63=9\times7=3^{2}\times7. Portanto
2016=2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 7^{1}.

Passo 6

Queremos ver se o número 2^{\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{5}}\cdot 7^{\frac{1}{10}} pode ser escrito como uma potência de 2016. Escrevendo 2016^{\alpha} com a fatoração encontrada:
2016^{\alpha}=(2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 7)^{\alpha}=2^{5\alpha}\cdot 3^{2\alpha}\cdot 7^{\alpha}.
Queremos 2^{5\alpha}\cdot 3^{2\alpha}\cdot 7^{\alpha}=2^{\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{5}}\cdot 7^{\frac{1}{10}}. Igualando expoentes para cada primo obtemos o sistema
5\alpha=\tfrac{1}{2},\qquad 2\alpha=\tfrac{1}{5},\qquad \alpha=\tfrac{1}{10}.
Cada equação dá \alpha=\tfrac{1}{10}, ou seja
2^{\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{5}}\cdot 7^{\frac{1}{10}}=2016^{\frac{1}{10}}.

Passo 7

Voltando para \mathrm{S},
\mathrm{S}=\log_{2016}\!\left(2^{\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{5}}\cdot 7^{\frac{1}{10}}\right) =\log_{2016}\!\left(2016^{\frac{1}{10}}\right).
E um logaritmo de uma potência simplifica assim:
\log_{b}(b^{t})=t.
Portanto
\mathrm{S}=\frac{1}{10}.

Passo 8

Check rápido numérico (só para confirmar): \log_{2}2016\approx 11, então o primeiro termo é cerca de 1/(2\cdot11)\approx0,045; os outros dois termos somam aproximadamente 0,055; total aproximado 0,100, consistente com \tfrac{1}{10}=0,1. Boa confirmação.

Resposta

\frac{1}{10}

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