Use o teorema da convergência monótona para mostrar que a sequência
é convergente. Em seguida, determine o limite desta sequência.
Passo 1
O enunciado dá a sequência cujos termos são
O que se pede:
- Usar o teorema da convergência monótona para mostrar que a sequência
é convergente. - Determinar o limite dessa sequência.
Informações úteis extraídas do enunciado:
- Cada termo é uma razão entre o fatorial
e a potência . - Não há outras restrições; queremos provar convergência e calcular o limite.
Passo 2
Mostrar que os termos são não negativos e que existe um limite inferior simples.
Cada
é positivo porque
e
para todo
. Logo
Portanto a sequência é limitada inferiormente por
. Ou seja,
é um limitante inferior de
.
Passo 3
Mostrar que a sequência é monótona (especificamente, estritamente decrescente).
Calculo a razão entre termos consecutivos:
Observe que para todo
temos
e o expoente
, portanto
Assim
, i.e.
para todo
. Logo a sequência
é estritamente decrescente.
Passo 4
Aplicar o teorema da convergência monótona.
O teorema da convergência monótona diz: toda sequência monotona (crescente ou decrescente) que é limitada converge. Aqui já vimos que
é decrescente e que tem bound inferior
. Portanto
é convergente: existe
Passo 5
Determinar o valor do limite
usando a relação entre termos consecutivos.
Da expressão do Passo 3 temos
Já sabemos que
quando
. Vamos calcular o limite do fator
. Escrevendo
É conhecido (e pode ser visto trocando
e usando
) que
Como
, conclui-se por continuidade da potência que
Passo 6
Usar a passagem ao limite na relação de recorrência para achar
.
Tomando limites em
obtemos, porque
,
e
,
a igualdade
a igualdade
Isto implica
Como
, segue que
.