Use o teorema da convergência monótona para mostrar que a sequência \left(\frac{n!}{n^{n}}\right) é convergente. Em seguida, determine o limite desta sequência.

Passo 1

O enunciado dá a sequência cujos termos são
a_n=\frac{n!}{n^{n}}\qquad (n=1,2,3,\dots)
O que se pede:
  • Usar o teorema da convergência monótona para mostrar que a sequência (a_n) é convergente.
  • Determinar o limite dessa sequência.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • Cada termo é uma razão entre o fatorial n! e a potência n^{n}.
  • Não há outras restrições; queremos provar convergência e calcular o limite.

Passo 2

Mostrar que os termos são não negativos e que existe um limite inferior simples.
Cada a_n é positivo porque n!>0 e n^n>0 para todo n\ge1. Logo
a_n>0\quad\text{para todo }n.
Portanto a sequência é limitada inferiormente por 0. Ou seja, 0 é um limitante inferior de (a_n).

Passo 3

Mostrar que a sequência é monótona (especificamente, estritamente decrescente).
Calculo a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{\dfrac{(n+1)!}{(n+1)^{\,n+1}}}{\dfrac{n!}{n^{n}}} =\frac{(n+1)\,n^{n}}{(n+1)^{\,n+1}} =\left(\frac{n}{n+1}\right)^{\!n}.
Observe que para todo n\ge1 temos \dfrac{n}{n+1}<1 e o expoente n>0, portanto
\left(\frac{n}{n+1}\right)^{\!n}<1.
Assim \dfrac{a_{n+1}}{a_n}<1, i.e. a_{n+1}<a_n para todo n\ge1. Logo a sequência (a_n) é estritamente decrescente.

Passo 4

Aplicar o teorema da convergência monótona.
O teorema da convergência monótona diz: toda sequência monotona (crescente ou decrescente) que é limitada converge. Aqui já vimos que (a_n) é decrescente e que tem bound inferior 0. Portanto (a_n) é convergente: existe
L=\lim_{n\to\infty} a_n\quad\text{com}\quad L\ge0.

Passo 5

Determinar o valor do limite L usando a relação entre termos consecutivos.
Da expressão do Passo 3 temos
a_{n+1}=a_n\left(\frac{n}{n+1}\right)^{\!n}.
Já sabemos que a_n\to L quando n\to\infty. Vamos calcular o limite do fator \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^{n}. Escrevendo
\left(\frac{n}{n+1}\right)^{\!n}=\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{\!n} =\left[\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{\,n+1}\right]^{\!n/(n+1)}.
É conhecido (e pode ser visto trocando m=n+1 e usando \lim_{m\to\infty}\big(1-\tfrac{1}{m}\big)^m=e^{-1}) que
\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{\,n+1}=e^{-1}.
Como n/(n+1)\to1, conclui-se por continuidade da potência que
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{\!n}=e^{-1}.

Passo 6

Usar a passagem ao limite na relação de recorrência para achar L.
Tomando limites em
a_{n+1}=a_n\left(\frac{n}{n+1}\right)^{\!n}
obtemos, porque a_{n+1}\to L, a_n\to L e \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n\to e^{-1},
a igualdade
L = L\cdot e^{-1}.
Isto implica
L\big(1-e^{-1}\big)=0.
Como 1-e^{-1}\neq0, segue que L=0.

Resposta

0

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