Use o teorema de Stokes para calcular
.
, e
é qualquer superfície cujo bordo seja
, com a normal apontando para cima.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de superfície
onde estão dadas as seguintes informações:
- O campo vetorial é
. - A superfície
é qualquer superfície cujo bordo é a curva dada por - A normal à superfície
está apontando para cima (isto é, componente positiva).
O que se deve retornar é o valor numérico dessa integral de superfície.
Passo 2
Ferramenta que vamos usar (enunciada sem desenvolver a prova): o Teorema de Stokes afirma que, para uma superfície orientada
com bordo
,
Explicando cada símbolo para você:
-
é o rotor (curl) do campo . -
é o versor normal compatível com a orientação escolhida em . -
é o vetor diferencial de posição ao longo do bordo .
Importante sobre orientação: como a normal está apontando para cima, a orientação positiva da curvaé o sentido anti-horário quando vista de cima (regra da mão direita). Portanto podemos calcular a integral de superfície trocando-a pela integral de linha ao longo de no sentido crescente de .
Passo 3
Vamos calcular o rotor
. Pela definição em coordenadas cartesianas,
onde
. Aqui
.
Calculemos cada derivada parcial:
Calculemos cada derivada parcial:
-
. -
. -
. -
. -
. -
.
Substituindo,
Passo 4
Pelo Teorema de Stokes podemos trocar a integral de superfície pela integral de linha sobre o bordo
:
Agora parametrizamos a curva
,
.
Verificação rápida da orientação: para pequeno tem
e
decrescendo a partir de
, então a curva percorre a elipse no sentido anti-horário vista de cima — isso está consistente com a normal apontando para cima. Portanto usamos
de
a
.
Verificação rápida da orientação: para
Passo 5
Calcule
. Derivando coordenada a coordenada:
Agora avalie
ao longo da curva substituindo
:
Simplificando a primeira componente:
Logo
Passo 6
Forme o produto escalar
:
Calcule termo a termo:
Portanto o integrando da integral de linha é
A integral de linha (e, por Stokes, a integral de superfície) é
Passo 7
Avalie a integral separando em duas:
Primeira integral: use a substituição
, daí
. Os limites são
e
, então
Logo a primeira parcela é zero.
Segunda integral: use a identidade trigonométrica
. Assim
A integral de
em um período inteiro é zero, e
. Portanto
Multiplicando pelo fator
temos
.
Passo 8
Concluímos que o valor da integral pedida é
. (Esse valor veio da integral de linha que, por Stokes, é igual à integral de superfície original.)