Use o teorema de Stokes para calcular \iint_{S} \operatorname{rot} \vec{F} \cdot \vec{n} d S.
\vec{F}(x, y, z)=\left(x y^{2}, x, z^{3}\right), e S é qualquer superfície cujo bordo seja \gamma(t)=(2 \cos t, 3 \sin t, 1), \quad 0 \leq t \leq 2 \pi, com a normal apontando para cima.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de superfície
\iint_{S} \operatorname{rot}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS,
onde estão dadas as seguintes informações:
  • O campo vetorial é \vec{F}(x,y,z)=\big(xy^{2},\,x,\,z^{3}\big).
  • A superfície S é qualquer superfície cujo bordo é a curva \gamma dada por \gamma(t)=(2\cos t,\,3\sin t,\,1),\qquad 0\le t\le2\pi.
  • A normal à superfície S está apontando para cima (isto é, componente z positiva).
    O que se deve retornar é o valor numérico dessa integral de superfície.

Passo 2

Ferramenta que vamos usar (enunciada sem desenvolver a prova): o Teorema de Stokes afirma que, para uma superfície orientada S com bordo \partial S,
\iint_{S} (\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS \;=\; \oint_{\partial S} \vec{F}\cdot d\vec{r}.
Explicando cada símbolo para você:
  • \nabla\times\vec{F} é o rotor (curl) do campo \vec{F}.
  • \vec{n} é o versor normal compatível com a orientação escolhida em S.
  • d\vec{r} é o vetor diferencial de posição ao longo do bordo \partial S.
    Importante sobre orientação: como a normal está apontando para cima, a orientação positiva da curva \partial S é o sentido anti-horário quando vista de cima (regra da mão direita). Portanto podemos calcular a integral de superfície trocando-a pela integral de linha ao longo de \gamma(t) no sentido crescente de t.

Passo 3

Vamos calcular o rotor \nabla\times\vec{F}. Pela definição em coordenadas cartesianas,
\nabla\times\vec{F} = \left(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\; \frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\; \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right),
onde \vec{F}=(F_1,F_2,F_3). Aqui F_1=xy^2,\;F_2=x,\;F_3=z^3.
Calculemos cada derivada parcial:
  • \dfrac{\partial F_3}{\partial y}=\dfrac{\partial z^3}{\partial y}=0.
  • \dfrac{\partial F_2}{\partial z}=\dfrac{\partial x}{\partial z}=0.
  • \dfrac{\partial F_1}{\partial z}=\dfrac{\partial (xy^2)}{\partial z}=0.
  • \dfrac{\partial F_3}{\partial x}=\dfrac{\partial z^3}{\partial x}=0.
  • \dfrac{\partial F_2}{\partial x}=\dfrac{\partial x}{\partial x}=1.
  • \dfrac{\partial F_1}{\partial y}=\dfrac{\partial (x y^2)}{\partial y}=2xy.
    Substituindo,
\nabla\times\vec{F} = (0-0,\;0-0,\;1-2xy) = (0,\;0,\;1-2xy).

Passo 4

Pelo Teorema de Stokes podemos trocar a integral de superfície pela integral de linha sobre o bordo \gamma:
\iint_{S} (\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS \;=\; \oint_{\gamma} \vec{F}\cdot d\vec{r}.
Agora parametrizamos a curva \gamma(t)=(2\cos t,\,3\sin t,\,1), 0\le t\le2\pi.
Verificação rápida da orientação: para t pequeno tem y=3\sin t>0 e x decrescendo a partir de 2, então a curva percorre a elipse no sentido anti-horário vista de cima — isso está consistente com a normal apontando para cima. Portanto usamos t de 0 a 2\pi.

Passo 5

Calcule d\vec{r}=\gamma'(t)\,dt. Derivando coordenada a coordenada:
\gamma'(t)=(-2\sin t,\;3\cos t,\;0).
Agora avalie \vec{F} ao longo da curva substituindo x=2\cos t,\;y=3\sin t,\;z=1:
\vec{F}(\gamma(t))=\big( x y^2,\; x,\; z^3\big) = \big(2\cos t\cdot(3\sin t)^2,\;2\cos t,\;1^3\big).
Simplificando a primeira componente:
2\cos t\cdot(3\sin t)^2 = 2\cos t\cdot 9\sin^2 t = 18\cos t\sin^2 t.
Logo
\vec{F}(\gamma(t)) = \big(18\cos t\sin^2 t,\; 2\cos t,\;1\big).

Passo 6

Forme o produto escalar \vec{F}(\gamma(t))\cdot \gamma'(t):
\vec{F}\cdot\gamma' = \big(18\cos t\sin^2 t\big)(-2\sin t) \;+\; (2\cos t)(3\cos t)\;+\; (1)(0).
Calcule termo a termo:
\big(18\cos t\sin^2 t\big)(-2\sin t) = -36\cos t\sin^3 t,
(2\cos t)(3\cos t)=6\cos^2 t.
Portanto o integrando da integral de linha é
\vec{F}\cdot\gamma' = -36\cos t\sin^3 t + 6\cos^2 t.
A integral de linha (e, por Stokes, a integral de superfície) é
I=\int_{0}^{2\pi}\big(-36\cos t\sin^3 t + 6\cos^2 t\big)\,dt.

Passo 7

Avalie a integral separando em duas:
I = -36\int_{0}^{2\pi}\cos t\sin^3 t\,dt \;+\; 6\int_{0}^{2\pi}\cos^2 t\,dt.
Primeira integral: use a substituição u=\sin t, daí du=\cos t\,dt. Os limites são u(0)=0 e u(2\pi)=0, então
\int_{0}^{2\pi}\cos t\sin^3 t\,dt = \int_{0}^{0} u^3\,du = 0.
Logo a primeira parcela é zero.
Segunda integral: use a identidade trigonométrica \cos^2 t = \dfrac{1+\cos 2t}{2}. Assim
\int_{0}^{2\pi}\cos^2 t\,dt = \int_{0}^{2\pi}\frac{1+\cos 2t}{2}\,dt = \frac{1}{2}\left[\int_{0}^{2\pi}1\,dt + \int_{0}^{2\pi}\cos 2t\,dt\right].
A integral de \cos 2t em um período inteiro é zero, e \int_0^{2\pi}1\,dt=2\pi. Portanto
\int_{0}^{2\pi}\cos^2 t\,dt = \frac{1}{2}\cdot 2\pi = \pi.
Multiplicando pelo fator 6 temos 6\cdot \pi = 6\pi.

Passo 8

Concluímos que o valor da integral pedida é 6\pi. (Esse valor veio da integral de linha que, por Stokes, é igual à integral de superfície original.)

Resposta

6\pi

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