Use o Teorema de Stokes para calcular \oint_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r} nos casos abaixo. \vec{F}(x, y, z)=y z \vec{i}+x y \vec{j}+x z \vec{k} e C é o quadrado de vértices (0,0,2),(1,0,2),(1,1,2),(0,1,2), orientado no sentido anti-horário quando visto de cima.
Passo 1
O enunciado dá:
O campo vetorial \vec{F}(x,y,z)=y z\,\vec{i}+x y\,\vec{j}+x z\,\vec{k}.
A curva C é o quadrado de vértices (0,0,2),(1,0,2),(1,1,2),(0,1,2), ou seja, o contorno do quadrado na superfície z=2 com 0\le x\le1 e 0\le y\le1.
A orientação de C é anti-horária quando vista de cima (isto é, no sentido positivo visto do eixo +z).
O que o problema pede:
Calcular \displaystyle \oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} usando o Teorema de Stokes.
Passo 2
Enunciando o Teorema de Stokes (forma que vamos usar):
onde S é qualquer superfície orientada cuja fronteira seja C e \vec{n} é a normal unitária escolhida de forma compatível com a orientação de C (regra da mão direita).
Explicação didática rápida da orientação:
«Anti-horário visto de cima» significa que, quando se olha ao longo de +z para baixo, a curva é percorrida em sentido anti-horário. Pela regra da mão direita isso corresponde a escolher a normal \vec{n} apontando para cima, isto é, \vec{n}=\vec{k}=(0,0,1). Então podemos escolher S como o próprio quadrado no plano z=2.
Passo 3
Calcular o rotacional \nabla\times\vec{F}. Usando a fórmula componente a componente: