Use o Teorema de Stokes para calcular \oint_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r} nos casos abaixo.
\vec{F}(x, y, z)=y z \vec{i}+x y \vec{j}+x z \vec{k} e C é o quadrado de vértices (0,0,2),(1,0,2),(1,1,2),(0,1,2), orientado no sentido anti-horário quando visto de cima.

Passo 1

O enunciado dá:
  • O campo vetorial \vec{F}(x,y,z)=y z\,\vec{i}+x y\,\vec{j}+x z\,\vec{k}.
  • A curva C é o quadrado de vértices (0,0,2),(1,0,2),(1,1,2),(0,1,2), ou seja, o contorno do quadrado na superfície z=2 com 0\le x\le1 e 0\le y\le1.
  • A orientação de C é anti-horária quando vista de cima (isto é, no sentido positivo visto do eixo +z).
O que o problema pede:
  • Calcular \displaystyle \oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} usando o Teorema de Stokes.

Passo 2

Enunciando o Teorema de Stokes (forma que vamos usar):
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS,
onde S é qualquer superfície orientada cuja fronteira seja C e \vec{n} é a normal unitária escolhida de forma compatível com a orientação de C (regra da mão direita).
Explicação didática rápida da orientação:
  • «Anti-horário visto de cima» significa que, quando se olha ao longo de +z para baixo, a curva é percorrida em sentido anti-horário. Pela regra da mão direita isso corresponde a escolher a normal \vec{n} apontando para cima, isto é, \vec{n}=\vec{k}=(0,0,1). Então podemos escolher S como o próprio quadrado no plano z=2.

Passo 3

Calcular o rotacional \nabla\times\vec{F}. Usando a fórmula componente a componente:
\nabla\times\vec{F}=\begin{pmatrix} \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(F_z)-\frac{\partial}{\partial z}(F_y)\\[6pt] \displaystyle \frac{\partial}{\partial z}(F_x)-\frac{\partial}{\partial x}(F_z)\\[6pt] \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(F_y)-\frac{\partial}{\partial y}(F_x) \end{pmatrix}.
Substituindo F_x=y z,\;F_y=x y,\;F_z=x z:
  • Componente x:
\frac{\partial}{\partial y}(F_z)-\frac{\partial}{\partial z}(F_y)=\frac{\partial}{\partial y}(x z)-\frac{\partial}{\partial z}(x y)=0-0=0.
  • Componente y:
\frac{\partial}{\partial z}(F_x)-\frac{\partial}{\partial x}(F_z)=\frac{\partial}{\partial z}(y z)-\frac{\partial}{\partial x}(x z)=y-z.
  • Componente z:
\frac{\partial}{\partial x}(F_y)-\frac{\partial}{\partial y}(F_x)=\frac{\partial}{\partial x}(x y)-\frac{\partial}{\partial y}(y z)=y-z.
Portanto
\nabla\times\vec{F}=(0,\;y-z,\;y-z).]

Passo 4

Escolhendo a superfície S como o quadrado plano em z=2 com 0\le x\le1,\;0\le y\le1:
  • A normal unitária compatível é \vec{n}=\vec{k}=(0,0,1).
  • Em um plano horizontal temos dS=dA, ou seja, o elemento de área do plano é simplesmente dx\,dy.

Passo 5

Calcular o produto escalar (\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n} sobre S. Como \vec{n}=(0,0,1), obtemos a componente z do rotacional:
(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}=\text{componente }z=\;y-z.
Na superfície S temos z=2. Substituindo:
(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}=y-2.

Passo 6

Aplicar o Teorema de Stokes transformando a integral de linha em integral de superfície e calcular:
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}(y-2)\,dS=\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{1}(y-2)\,dx\,dy.
Calculemos passo a passo:
  • Integral interna em x:
\int_{x=0}^{1}(y-2)\,dx=(y-2)\int_{0}^{1}dx=(y-2)\cdot 1 = y-2.
  • Agora integrar em y:
\int_{y=0}^{1}(y-2)\,dy=\left[\frac{y^{2}}{2}-2y\right]_{0}^{1}=\left(\frac{1}{2}-2\right)-0=\frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}.

Passo 7

Concluímos, portanto, que o valor da integral de linha pedida é -\tfrac{3}{2}.

Resposta

-\tfrac{3}{2}

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