Use o Teste de d’Alembert (Teste da razão) para verificar se as séries abaixo convergem ou divergem:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n} n!\left(1-\cos \left(n^{2}\right)\right)}{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdots(3 n-1)}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n} n!\bigl(1-\cos \left(n^{2}\right)\bigr)}{2\cdot5\cdot8\cdots(3n-1)}
converge ou diverge. Dados relevantes extraídos do enunciado:
  • O termo geral é
a_n=\frac{2^{n} n!\bigl(1-\cos(n^{2})\bigr)}{2\cdot5\cdot8\cdots(3n-1)}.
  • Para todo n vale a desigualdade elementar
0\le 1-\cos(n^{2})\le 2,
logo a_n\ge 0 para todo n.
  • O denominador é o produto \prod_{k=1}^{n}(3k-1).
A pergunta concreta: a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge ou diverge?

Passo 2

Vou lembrar o enunciado do Teste da razão (Teste de d’Alembert), pois vou usá-lo no raciocínio. Para uma série de termos não-negativos \sum a_n define-se o quociente
r_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}.
Se existir o limite
L=\lim_{n\to\infty} r_n,
então
  • se L<1, a série converge;
  • se L>1, a série diverge;
  • se L=1, o teste é inconclusivo.
Também existe uma forma prática: se \limsup_{n\to\infty} r_n<1 a série converge; se \liminf_{n\to\infty} r_n>1 a série diverge. Vou aplicar esse raciocínio, possivelmente a uma série comparadora simples, porque o fator (1-\cos(n^2)) oscila.

Passo 3

Observação útil (remoção da oscilação): como 0\le 1-\cos(n^{2})\le 2 para todo n, temos para todo n
0\le a_n \le 2\cdot \frac{2^{n} n!}{2\cdot5\cdot8\cdots(3n-1)}.
Defino a sequência auxiliar
b_n=\frac{2^{n} n!}{2\cdot5\cdot8\cdots(3n-1)}.
Então a_n \le 2 b_n para todo n. Se eu mostrar que a série \sum b_n converge, então \sum 2b_n também converge (multiplo por constante) e pela comparação com a_n concluirei que \sum a_n converge.

Passo 4

Aplicando o Teste da razão a b_n. Calculo o quociente b_{n+1}/b_n. Primeiro escrevo explicitamente
b_n=\frac{2^{n} n!}{\prod_{k=1}^{n}(3k-1)}.
Então
b_{n+1}=\frac{2^{\,n+1}(n+1)!}{\prod_{k=1}^{n+1}(3k-1)}.
O quociente é
\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2^{\,n+1}(n+1)!}{\prod_{k=1}^{n+1}(3k-1)}\cdot \frac{\prod_{k=1}^{n}(3k-1)}{2^{n} n!} = 2\cdot (n+1)\cdot\frac{1}{3(n+1)-1}.
Simplificando 3(n+1)-1=3n+2, obtemos
\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{2(n+1)}{3n+2}.

Passo 5

Agora tomo o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{2(n+1)}{3n+2} = \frac{2}{3}.
Este limite é estritamente menor que 1 ( \tfrac{2}{3}<1). Pelo Teste da razão, isto implica que a série \sum b_n converge (mais precisamente, converge absolutamente; aqui os termos são não-negativos).

Passo 6

Como \sum b_n converge e para todo n vale 0\le a_n \le 2 b_n, segue que a série \sum 2b_n converge (multiplicação por constante) e, pelo critério da comparação, a série original \sum a_n também converge.
Explicando em palavras simples: mesmo que o fator (1-\cos(n^2)) oscile entre 0 e 2, ele só reduz (ou no máximo duplica) os termos da série comparada b_n; como b_n já forma uma série convergente (razão limite 2/3), a série com o fator oscilante também converge.

Passo 7

Comentário final de incentivo: deu trabalho lidar com o termo oscilante, mas a ideia chave foi comparar com uma sequência mais simples cujo quociente tende para \tfrac{2}{3}, menor que 1. Isso garante a convergência; na prova, usar o Teste da razão na sequência comparadora é uma boa técnica quando há fatores limitados (como 1-\cos).

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados