Use o Teste de d’Alembert (Teste da razão) para verificar se as séries abaixo convergem ou divergem:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
converge ou diverge. Dados relevantes extraídos do enunciado:
- O termo geral é
- Para todo
vale a desigualdade elementar
logo
para todo
.
- O denominador é o produto
.
A pergunta concreta: a série
converge ou diverge?
Passo 2
Vou lembrar o enunciado do Teste da razão (Teste de d’Alembert), pois vou usá-lo no raciocínio. Para uma série de termos não-negativos
define-se o quociente
Se existir o limite
então
- se
, a série converge; - se
, a série diverge; - se
, o teste é inconclusivo.
Também existe uma forma prática: se
a série converge; se
a série diverge. Vou aplicar esse raciocínio, possivelmente a uma série comparadora simples, porque o fator
oscila.
Passo 3
Observação útil (remoção da oscilação): como
para todo
, temos para todo
Defino a sequência auxiliar
Então
para todo
. Se eu mostrar que a série
converge, então
também converge (multiplo por constante) e pela comparação com
concluirei que
converge.
Passo 4
Aplicando o Teste da razão a
. Calculo o quociente
. Primeiro escrevo explicitamente
Então
O quociente é
Simplificando
, obtemos
Passo 5
Agora tomo o limite quando
:
Este limite é estritamente menor que
(
). Pelo Teste da razão, isto implica que a série
converge (mais precisamente, converge absolutamente; aqui os termos são não-negativos).
Passo 6
Como
converge e para todo
vale
, segue que a série
converge (multiplicação por constante) e, pelo critério da comparação, a série original
também converge.
Explicando em palavras simples: mesmo que o fator
oscile entre
e
, ele só reduz (ou no máximo duplica) os termos da série comparada
; como
já forma uma série convergente (razão limite
), a série com o fator oscilante também converge.
Passo 7
Comentário final de incentivo: deu trabalho lidar com o termo oscilante, mas a ideia chave foi comparar com uma sequência mais simples cujo quociente tende para
, menor que
. Isso garante a convergência; na prova, usar o Teste da razão na sequência comparadora é uma boa técnica quando há fatores limitados (como
).
Resposta
A série converge.