Use o Teste de d’Alembert (Teste da razão) para verificar se as séries abaixo convergem ou divergem:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n} n!\left(2+\operatorname{sen}\left(n^{2}\right)\right)}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdots(2 n-1)}

Passo 1

Vou organizar o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • A série é \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n com
a_n=\frac{3^{n}\,n!\,\bigl(2+\operatorname{sen}(n^{2})\bigr)}{3\cdot5\cdot7\cdots(2n-1)}.
  • O que é pedido: usar o Teste de d’Alembert (Teste da razão) para verificar se a série converge ou diverge.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • O termo \operatorname{sen}(n^{2}) (seno de n^2) é uma função oscilante com valores em [-1,1]. Assim 2+\operatorname{sen}(n^{2}) está sempre entre 1 e 3.
  • O denominador 3\cdot5\cdot7\cdots(2n-1) é o produto dos números ímpares de 3 até 2n-1. Podemos relacioná-lo com fatoriais e coeficientes binomiais (isso vai facilitar cálculos adiante).
A partir daqui aplicaremos o Teste da razão, mas antes simplifico e transformo termos para manipular melhor.

Passo 2

Transformação algébrica do termo a_n para uma forma mais conveniente.
Começo escrevendo o produto dos ímpares em termos fatoriais. Lembrando que
(2n)! = 1\cdot2\cdot3\cdots(2n) = \bigl(1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)\bigr)\cdot\bigl(2\cdot4\cdot6\cdots(2n)\bigr).
Mas \;2\cdot4\cdot6\cdots(2n)=2^n n!\;. Logo
1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)=\frac{(2n)!}{2^n n!}.
Nosso denominador é 3\cdot5\cdot\cdots(2n-1). Como multiplicar por 1 não muda, podemos considerar
3\cdot5\cdot\cdots(2n-1)=1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)=\frac{(2n)!}{2^n n!}.
Substituindo no a_n:
a_n=\frac{3^{n}\,n!\,\bigl(2+\operatorname{sen}(n^{2})\bigr)}{\dfrac{(2n)!}{2^n n!}} = \frac{3^{n}\,n!\,\bigl(2+\operatorname{sen}(n^{2})\bigr)\,2^n n!}{(2n)!}.
Agrupando 3^n 2^n = 6^n e (n!)^2,
a_n=\frac{6^{n}\,(n!)^{2}\,\bigl(2+\operatorname{sen}(n^{2})\bigr)}{(2n)!}.
Outra forma útil é usar o coeficiente binomial central \binom{2n}{n}=\dfrac{(2n)!}{(n!)^2}. Assim
a_n=\bigl(2+\operatorname{sen}(n^{2})\bigr)\,\frac{6^n}{\binom{2n}{n}}.
Essa forma é muito prática para estudar o crescimento/exponencial do termo, porque \binom{2n}{n} tem crescimento bem conhecido.

Passo 3

Aplicação direta do Teste da razão: calcular \displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| (quando existir) ou pelo menos obter a informação necessária.
Parto da forma inicial para calcular a razão exatamente (isso evita erros de sinais/constantes):
usando a expressão simples com produto de ímpares já feita anteriormente, ou a forma com binomial, chega-se (após cancelamentos) a
\frac{a_{n+1}}{a_n} =3\cdot\frac{n+1}{2n+1}\cdot \frac{2+\operatorname{sen}\!\bigl((n+1)^{2}\bigr)}{2+\operatorname{sen}\!\bigl(n^{2}\bigr)}.
Esse cálculo dá-se assim (resumindo a conta de cancelamento):
  • o 3^{n+1}/3^n 3,
  • o (n+1)!/n! n+1,
  • o produto dos ímpares no denominador do termo n+1 é o produto do termo n multiplicado por (2n+1), o que gera o fator 1/(2n+1),
  • sobra a razão dos fatores 2+\operatorname{sen}(\cdot).
Portanto, para os valores absolutos (como a série tem termos positivos já que 2+\operatorname{sen}\ge1),
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =3\cdot\frac{n+1}{2n+1}\cdot \frac{2+\operatorname{sen}\!\bigl((n+1)^{2}\bigr)}{2+\operatorname{sen}\!\bigl(n^{2}\bigr)}.
Agora examino o comportamento assintótico dos fatores:
  • \displaystyle\frac{n+1}{2n+1}\xrightarrow[n\to\infty]{}\frac{1}{2}.
  • O quociente \dfrac{2+\operatorname{sen}((n+1)^{2})}{2+\operatorname{sen}(n^{2})} é uma sequência positiva e limitada: cada numerador e denominador estão em [1,3], logo o quociente está em \bigl[\tfrac{1}{3},3\bigr]. Esse quociente oscila, não tem limite simples, mas é uma sequência de fatores multiplicativos que é O(1) (i.e., permanece bounded, não cresce exponencialmente).
Multiplicando as partes conhecidas,
3\cdot\frac{n+1}{2n+1}\xrightarrow[n\to\infty]{}\frac{3}{2}.
Portanto a parte que realmente determina o comportamento exponencial tende a \dfrac{3}{2}, que é maior que 1. O quociente oscilante entre \tfrac{1}{3} e 3 só pode alterar esse valor por um fator limitado; intuitivamente, por causa do fator dominante \dfrac{3(n+1)}{2n+1}\to\dfrac{3}{2}, a razão tende a comportar-se como número maior que 1.
Para tornar essa conclusão mais robusta (e evitar dependência de propriedades finas do seno), podemos usar uma aproximação assintótica através da fórmula de Stirling para fatoriais, que mostra a taxa exponencial com clareza.

Passo 4

Uso da aproximação de Stirling (explicando o que é e por que usamos): a fórmula de Stirling diz que, quando n é grande,
n!\sim\sqrt{2\pi n}\,\left(\frac{n}{e}\right)^n,
o que significa que o quociente entre os dois lados tende a 1 quando n\to\infty. Essa fórmula é padrão para estimar crescimentos fatoriais e dá as estimativas assintóticas precisas que precisamos.
Aplicando Stirling à expressão a_n=\dfrac{6^{n}(n!)^{2}(2+\operatorname{sen}(n^{2}))}{(2n)!} obtemos (mostro os passos essenciais):
(n!)^{2}\sim 2\pi n\left(\frac{n}{e}\right)^{2n},\qquad (2n)!\sim\sqrt{4\pi n}\left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}.
Dividindo,
\frac{(n!)^{2}}{(2n)!}\sim\frac{2\pi n}{\sqrt{4\pi n}}\cdot\frac{n^{2n}}{(2n)^{2n}} =\sqrt{\pi n}\cdot\frac{1}{4^{n}}.
Substituindo em a_n,
a_n \sim \bigl(2+\operatorname{sen}(n^{2})\bigr)\,6^n\cdot\frac{\sqrt{\pi n}}{4^{n}} = \bigl(2+\operatorname{sen}(n^{2})\bigr)\,\sqrt{\pi n}\,\bigl(\tfrac{6}{4}\bigr)^n.
Ou seja,
a_n \sim \bigl(2+\operatorname{sen}(n^{2})\bigr)\,\sqrt{\pi n}\,\bigl(1{,}5\bigr)^n.
Repare aqui o ponto crucial: \bigl(1{,}5\bigr)^n cresce exponencialmente. O fator multiplicativo \bigl(2+\operatorname{sen}(n^{2})\bigr) oscila entre 1 e 3, e \sqrt{\pi n} cresce apenas polinomialmente (raiz de n). Logo o comportamento dominante de a_n é crescimento exponencial com razão base 1{,}5>1. Em particular, os termos a_n não tendem a zero — ao contrário, tendem ao infinito em módulo (ou pelo menos crescem sem decair para zero).

Passo 5

Conclusão sobre a série usando o Teste da razão (e observação final via o teste da forma).
  • Pelo Teste da razão (d’Alembert), se o limite
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
existisse e satisfizesse L>1, então a série divergiria. Pelos cálculos do Passo 3 e pela estimativa assintótica do Passo 4, a razão principal tende a \dfrac{3}{2}>1. Mesmo levando em conta o fator oscilante \dfrac{2+\operatorname{sen}((n+1)^2)}{2+\operatorname{sen}(n^2)} (que é limitado e não anula o crescimento exponencial dominante), a razão comporta-se como um número maior que 1 para grandes n. Portanto a conclusão natural é que a série diverge.
  • Outra forma direta e muito clara de ver a divergência (comum em provas) é notar da estimativa assintótica:
a_n \sim C_n\,(1{,}5)^n\sqrt{n},
onde C_n=2+\operatorname{sen}(n^2) é limitado abaixo por 1. Assim a_n não tende a 0 (pelo contrário, cresce exponencialmente); como condição necessária para uma série convergir é que os termos tendam a zero, segue que a série diverge. (Essa observação é consistente com o que o Teste da razão indica, pois a razão assintótica entre termos é maior que 1.)
Vou reforçar com uma frase de ânimo: é comum em séries com fator do tipo \dfrac{c^n}{\binom{2n}{n}} que o comportamento exponencial do numerador determine a convergência; aqui 6^n/\binom{2n}{n} cresce como (3/2)^n, então não há como a soma convergir.

Resposta

A série diverge.

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