Uma usina elétrica produz eletricidade em uma potência fixa P, mas o operador da usina pode escolher em que tensão ela é produzida. Esta eletricidade é transmitida por uma linha de transmissão (com resistência R ) da usina para o usuário, onde chega com uma potência P^{\prime}.
Mostre que a redução na potência \Delta P=P-P^{\prime}, devido às perdas na linha, é dada por \Delta P=P^{2} R / V^{2}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A usina gera uma potência fixa \,P\,.
  • A tensão escolhida na usina é \,V\,.
  • A eletricidade passa por uma linha de transmissão com resistência \,R\,.
  • No ponto do usuário chega uma potência \,P' \, (menor que \,P\, por causa das perdas).
    A pergunta é: mostrar que a redução de potência \,\Delta P = P - P'\, causada pelas perdas na linha é
\Delta P = \frac{P^{2}R}{V^{2}}.

Passo 2

Relacionar potência, tensão e corrente. A fórmula básica que liga potência elétrica, tensão e corrente é
P = V I,
onde:
  • \,P\, é a potência fornecida (em watts, \mathrm{W}),
  • \,V\, é a tensão (em volts, \mathrm{V}),
  • \,I\, é a corrente (em ampères, \mathrm{A}).
    Essa relação vem da definição de potência elétrica como energia por tempo: energia entregue por carga elétrica vezes fluxo de carga por tempo resulta em tensão vezes corrente.

Passo 3

Isolar a corrente a partir de \,P = V I\,. Como \,P\, e \,V\, são conhecidos, a corrente que circula na linha é
I = \frac{P}{V}.
Explicação prática: manter a mesma potência com tensão maior reduz a corrente; manter a mesma potência com tensão menor aumenta a corrente.

Passo 4

Expressar a perda de potência na linha em termos da corrente. A potência dissipada por aquecimento numa resistência é dada pela lei de Joule:
P_{\text{perda}} = I^{2}R,
onde \,R\, é a resistência da linha. Essa potência dissipada é exatamente a redução \,\Delta P\, entre o que a usina fornece e o que chega ao usuário, isto é,
\Delta P = I^{2}R.
Também se pode escrever P' = P - I^{2}R.

Passo 5

Substituir \,I = \dfrac{P}{V}\, em \,\Delta P = I^{2}R\, e fazer as contas passo a passo:
\Delta P = I^{2}R = \left(\frac{P}{V}\right)^{2} R.
Desenvolvendo:
\Delta P = \frac{P^{2}}{V^{2}}\,R = \frac{P^{2}R}{V^{2}}.
Pronto: obtém-se exatamente a fórmula pedida.

Passo 6

Checagem rápida de unidades e interpretação física:
  • Dimensionalmente, \dfrac{P^{2}R}{V^{2}} tem unidades \dfrac{\mathrm{W}^{2}\cdot\Omega}{\mathrm{V}^{2}}. Como 1\,\mathrm{W}=1\,\mathrm{V}\cdot\mathrm{A} e 1\,\Omega = \dfrac{\mathrm{V}}{\mathrm{A}}, isso simplifica para \mathrm{W}, consistente com potência.
  • Interpretação prática: as perdas aumentam com o quadrado da corrente, então, para a mesma potência gerada \,P\,, aumentar a tensão \,V\, reduz as perdas como 1/V^{2}. Por isso transmissões em alta tensão são usadas para economizar energia.

Passo 7

Exemplo numérico (para fixar a ideia): suponha \,P=1000\\ \mathrm{W}, \,V=100\\ \mathrm{V} e \,R=1\\ \Omega. Então
\Delta P = \frac{(1000)^{2}\cdot 1}{(100)^{2}} = \frac{10^{6}}{10^{4}} = 100\\ \mathrm{W},
ou seja, chegam \,P' = 900\\ \mathrm{W}. Se duplicar a tensão para \,V=200\\ \mathrm{V}, então
\Delta P = \frac{(1000)^{2}\cdot 1}{(200)^{2}} = \frac{10^{6}}{4\cdot10^{4}} = 25\\ \mathrm{W},
mostrando a forte redução de perdas ao aumentar \,V\,.

Resposta

\displaystyle \Delta P=\frac{P^{2}R}{V^{2}}

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