Uma usina elétrica produz eletricidade em uma potência fixa
, mas o operador da usina pode escolher em que tensão ela é produzida. Esta eletricidade é transmitida por uma linha de transmissão (com resistência
) da usina para o usuário, onde chega com uma potência
.
Mostre que a redução na potência
, devido às perdas na linha, é dada por
.
Mostre que a redução na potência
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A usina gera uma potência fixa
. - A tensão escolhida na usina é
. - A eletricidade passa por uma linha de transmissão com resistência
. - No ponto do usuário chega uma potência
(menor que por causa das perdas).
A pergunta é: mostrar que a redução de potênciacausada pelas perdas na linha é
Passo 2
Relacionar potência, tensão e corrente. A fórmula básica que liga potência elétrica, tensão e corrente é
onde:
-
é a potência fornecida (em watts, ), -
é a tensão (em volts, ), -
é a corrente (em ampères, ).
Essa relação vem da definição de potência elétrica como energia por tempo: energia entregue por carga elétrica vezes fluxo de carga por tempo resulta em tensão vezes corrente.
Passo 3
Isolar a corrente a partir de
. Como
e
são conhecidos, a corrente que circula na linha é
Explicação prática: manter a mesma potência com tensão maior reduz a corrente; manter a mesma potência com tensão menor aumenta a corrente.
Passo 4
Expressar a perda de potência na linha em termos da corrente. A potência dissipada por aquecimento numa resistência é dada pela lei de Joule:
onde
é a resistência da linha. Essa potência dissipada é exatamente a redução
entre o que a usina fornece e o que chega ao usuário, isto é,
Também se pode escrever
.
Passo 5
Substituir
em
e fazer as contas passo a passo:
Desenvolvendo:
Pronto: obtém-se exatamente a fórmula pedida.
Passo 6
Checagem rápida de unidades e interpretação física:
- Dimensionalmente,
tem unidades . Como e , isso simplifica para , consistente com potência. - Interpretação prática: as perdas aumentam com o quadrado da corrente, então, para a mesma potência gerada
, aumentar a tensão reduz as perdas como . Por isso transmissões em alta tensão são usadas para economizar energia.
Passo 7
Exemplo numérico (para fixar a ideia): suponha
,
e
. Então
ou seja, chegam
. Se duplicar a tensão para
, então
mostrando a forte redução de perdas ao aumentar
.