Utilizando o método dos mínimos quadrados, ajuste uma função do tipo g(x)=a+b x^{2} nos pontos da tabela que segue e determine \mathrm{g}(0,5).
x 0,0 1,0 2,0
f(x) 1,1 0,1 -3,1
(a) 0,8596.
(b) 0,2482
(c) 0,9748
(d) 0,3591

Passo 1

O enunciado pede que ajustemos, pelo método dos mínimos quadrados, uma função do tipo g(x)=a+b x^{2} aos três pontos da tabela e, em seguida, que determinenos o valor de g(0,5).
Dados fornecidos (retirados da tabela):
(x,f(x)) = (0,0;\;1,1),\quad (1,0;\;0,1),\quad (2,0;\;-3,1).
Queremos, portanto, encontrar os parâmetros a e b do ajuste e calcular g(0,5).

Passo 2

Para ajustar g(x)=a+b x^{2}\) por mínimos quadrados usamos a ideia de minimizar a soma dos quadrados dos resíduos \[S(a,b)=\sum_{i=1}^{n}\big(f(x_i)-a-b x_i^{2}\big)^{2}.
As condições de mínimo são as equações normais obtidas fazendo as derivadas parciais iguais a zero:
\frac{\partial S}{\partial a}=0,\qquad \frac{\partial S}{\partial b}=0.
Isso leva ao sistema linear
\begin{cases} n a + \big(\sum x_i^{2}\big) b = \sum f(x_i),\\[6pt] \big(\sum x_i^{2}\big) a + \big(\sum x_i^{4}\big) b = \sum x_i^{2} f(x_i). \end{cases}
Aqui (n] é o número de pontos; os somatórios são sobre os pontos dados. Vou calcular estes somatórios com os dados da tabela.]

Passo 3

Calculemos os somatórios usando explicitamente os valores da tabela:
Número de pontos:
n=3.
Soma dos x_i^{2}:
\sum x_i^{2}=0^{2}+1^{2}+2^{2}=0+1+4=5.
Soma dos x_i^{4}:
\sum x_i^{4}=0^{4}+1^{4}+2^{4}=0+1+16=17.
Soma dos f(x_i) (peguei os f da tabela):
\sum f(x_i)=1,1+0,1+(-3,1)=1,2-3,1=-1,9.
Soma de x_i^{2}f(x_i):
\sum x_i^{2}f(x_i)=0^{2}\cdot1,1+1^{2}\cdot0,1+2^{2}\cdot(-3,1)=0+0,1+4\cdot(-3,1)=0,1-12,4=-12,3.
(Observação: todos os números acima foram extraídos diretamente da tabela.)

Passo 4

Agora substituímos esses somatórios nas equações normais. O sistema fica:
\begin{cases} 3a+5b=-1,9,\\[4pt] 5a+17b=-12,3. \end{cases}]

Passo 5

Vamos resolver o sistema. Para evitar erros com decimais, transformo em frações (multiplicando por 10\)): \[\begin{cases} 30a+50b=-19,\\[4pt] 50a+170b=-123. \end{cases}
Multiplicando a primeira por 5\] e a segunda por \[3 para eliminar a:
\begin{cases} 150a+250b=-95,\\[4pt] 150a+510b=-369. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda:
260b=-274 \quad\Rightarrow\quad b=-\tfrac{274}{260}=-\tfrac{137}{130}.
Agora encontramos a\] usando a primeira equação original \(3a+5b=-1,9. Em frações:
30a+50b=-19 \quad\Rightarrow\quad 30a=-19-50b.
Substituindo b=-\tfrac{137}{130}:
30a=-19-50\cdot\left(-\tfrac{137}{130}\right)=-19+\tfrac{685}{13}=\tfrac{438}{13}.
Logo
a=\frac{438}{13\cdot30}=\frac{438}{390}=\frac{73}{65}.
Convertendo para decimal (só para inspeção):
a=\tfrac{73}{65}\approx1,123076923,\qquad b=-\tfrac{137}{130}\approx-1,053846154.]

Passo 6

Com a e b prontos, calculamos g(0,5). Primeiro (0,5)^{2}=0,25=\tfrac{1}{4}. Então
g(0,5)=a+b(0,5)^{2}=a+\tfrac{b}{4}.
Usando as frações encontradas:
g(0,5)=\tfrac{73}{65}+\tfrac{1}{4}\left(-\tfrac{137}{130}\right)=\tfrac{73}{65}-\tfrac{137}{520}.
Colocando com denominador comum 520:
\tfrac{73}{65}=\tfrac{73\cdot8}{65\cdot8}=\tfrac{584}{520},
portanto
g(0,5)=\tfrac{584}{520}-\tfrac{137}{520}=\tfrac{447}{520}.
Convertendo para decimal:
\tfrac{447}{520}\approx0,8596153846\ldots
Arredondando para quatro casas decimais (como nas alternativas), obtemos 0,8596.

Resposta

0,8596

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