Utilizando o método dos mínimos quadrados, ajuste uma função do tipo
nos pontos da tabela que segue e determine
.
0,0
1,0
2,0
1,1
0,1
(a)
.
(b) 0,2482
(c) 0,9748
(d) 0,3591
|
|
0,0 | 1,0 | 2,0 |
|
|
1,1 | 0,1 |
|
(b) 0,2482
(c) 0,9748
(d) 0,3591
Passo 1
O enunciado pede que ajustemos, pelo método dos mínimos quadrados, uma função do tipo
aos três pontos da tabela e, em seguida, que determinenos o valor de
.
Dados fornecidos (retirados da tabela):
Queremos, portanto, encontrar os parâmetros
e
do ajuste e calcular
.
Passo 2
Para ajustar
As condições de mínimo são as equações normais obtidas fazendo as derivadas parciais iguais a zero:
Isso leva ao sistema linear
Aqui (n] é o número de pontos; os somatórios são sobre os pontos dados. Vou calcular estes somatórios com os dados da tabela.]
Passo 3
Calculemos os somatórios usando explicitamente os valores da tabela:
Número de pontos:
Soma dos
:
Soma dos
:
Soma dos
(peguei os
da tabela):
Soma de
:
(Observação: todos os números acima foram extraídos diretamente da tabela.)
Passo 4
Agora substituímos esses somatórios nas equações normais. O sistema fica:
Passo 5
Vamos resolver o sistema. Para evitar erros com decimais, transformo em frações (multiplicando por
Multiplicando a primeira por
para eliminar
:
Subtraindo a primeira da segunda:
Agora encontramos
. Em frações:
Substituindo
:
Logo
Convertendo para decimal (só para inspeção):
Passo 6
Com
e
prontos, calculamos
. Primeiro
. Então
Usando as frações encontradas:
Colocando com denominador comum
:
portanto
Convertendo para decimal:
Arredondando para quatro casas decimais (como nas alternativas), obtemos
.