Utilize o método de Newton Raphson para encontrar soluções com precisão de \epsilon= 10^{-2} para os problemas a seguir:
\ln (x-1)+\cos (x-1)=0 \quad para 1.3 \leq x \leq 2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, pelo método de Newton–Raphson, uma solução da equação
\ln(x-1)+\cos(x-1)=0
no intervalo [1,3,\,2] com precisão \epsilon = 10^{-2}.
Informações dadas e o que se pede:
  • A equação é \ln(x-1)+\cos(x-1)=0.
  • O intervalo de interesse é 1,3 \le x \le 2.
  • Precisão desejada: \epsilon = 10^{-2} (ou seja, aproximadamente 0,01).
  • Devemos usar o método de Newton–Raphson e apresentar uma solução dentro desse intervalo com a precisão indicada.

Passo 2

O que é o método de Newton–Raphson e como ele funciona (explicação didática):
  • Suponha que queremos resolver f(x)=0. O método constrói uma sequência (x_n) que, sob boas condições, converge para uma raiz. A iteração é dada por
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
  • Intuição: aproximamos f perto de x_n por sua reta tangente e tomamos a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação.
  • Requisitos práticos: precisamos poder calcular f(x) e f'(x) e escolher um chute inicial x_0 razoável. Convergência local é normalmente rápida (quadrática) se x_0 estiver suficientemente perto da raiz e f'(x)\neq 0 na vizinhança.
  • Critério de parada que usaremos: parámos quando a diferença entre iterações estiver abaixo de \epsilon, ou seja quando |x_{n+1}-x_n|<\epsilon. Esse é um critério prático e compatível com o pedido.

Passo 3

Simplificação útil e definição das funções:
  • É conveniente usar a mudança de variável u = x-1. Assim u varia em [0,3,\,1] quando x varia em [1,3,\,2].
  • Definimos a função em u:
g(u)=\ln u + \cos u,
e sua derivada:
g'(u)=\frac{1}{u}-\sin u.
  • Resolver g(u)=0 em u\in[0,3,\,1] é equivalente a resolver a equação original; depois voltamos a x por x=u+1.
  • A iteração de Newton em u é
u_{n+1}=u_n-\frac{g(u_n)}{g'(u_n)}.

Passo 4

Verificação de existência de raiz no intervalo (mudança de sinal):
  • Calculamos g nos extremos (pegando u=x-1):
    • Para x=1,3 temos u=0,3. Então
    g(0,3)=\ln(0,3)+\cos(0,3)\approx -1,2039728 + 0,9553365 = -0,2486363,que é negativo.
    • Para x=2 temos u=1. Então
    g(1)=\ln(1)+\cos(1)=0 + 0,5403023 = 0,5403023,que é positivo.
  • Como g(0,3)<0 e g(1)>0, por continuidade existe pelo menos uma raiz em u\in[0,3,\,1], isto é, uma raiz x em [1,3,\,2]. Há uma única mudança de sinal visível, portanto esperamos uma raiz única nesse intervalo.

Passo 5

Escolha do chute inicial e justificativa:
  • Observando os valores, g(0,4)=\ln(0,4)+\cos(0,4) é muito pequeno e positivo:
g(0,4)\approx -0,9162907 + 0,9210610 = 0,0047703.
  • Portanto escolhemos o chute inicial
u_0 = 0,4 \quad\text{(equivalente a }x_0=1,4\text{)},
porque já está bem próximo da raiz e deve convergir rapidamente.

Passo 6

Primeira iteração de Newton (cálculos detalhados passo a passo):
  • Calculamos g(u_0) e g'(u_0):
g(u_0)=\ln(0,4)+\cos(0,4)\approx -0,9162907 + 0,9210610 = 0,0047702621,
g'(u_0)=\frac{1}{0,4}-\sin(0,4)\approx 2,5 - 0,3894183 = 2,1105816577.
  • Calculamos o incremento da iteração:
\Delta u = \frac{g(u_0)}{g'(u_0)} \approx \frac{0,0047702621}{2,1105816577} \approx 0,0022610818.
  • Atualizamos:
u_1 = u_0 - \Delta u \approx 0,4 - 0,0022610818 = 0,3977389182.
  • Voltando para x:
x_1 = u_1 + 1 \approx 1,3977389182.

Passo 7

Verificação do critério de parada:
  • Calculamos a diferença entre iterações:
|x_1-x_0| = |1,3977389182 - 1,4| = 0,0022610818.
  • Como 0,0022610818 < \epsilon = 10^{-2} (isto é, 0,01), o critério de parada foi satisfeito já após uma iteração.
  • Assim aceitamos x_1 como aproximação com a precisão exigida.

Passo 8

Comentário final sobre precisão e confiança na resposta:
  • A aproximação obtida x\approx 1,3977 está dentro de 0,01 da raiz verdadeira; a função foi bem comportada (derivada não nula em u_0), e Newton convergiu rapidamente.
  • Se quisermos maior segurança, poderíamos fazer mais uma iteração e verificar |g(u_1)| para confirmar que o resíduo é pequeno; porém para a precisão pedida isso não é necessário.

Resposta

x \approx 1,3977389182

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