Utilize o método de Newton Raphson para encontrar soluções com precisão de
para os problemas a seguir:
para
Passo 1
O enunciado pede para encontrar, pelo método de Newton–Raphson, uma solução da equação
no intervalo
com precisão
.
Informações dadas e o que se pede:
- A equação é
. - O intervalo de interesse é
. - Precisão desejada:
(ou seja, aproximadamente ). - Devemos usar o método de Newton–Raphson e apresentar uma solução dentro desse intervalo com a precisão indicada.
Passo 2
O que é o método de Newton–Raphson e como ele funciona (explicação didática):
- Suponha que queremos resolver
. O método constrói uma sequência que, sob boas condições, converge para uma raiz. A iteração é dada por
- Intuição: aproximamos
perto de por sua reta tangente e tomamos a interseção dessa reta com o eixo como nova aproximação. - Requisitos práticos: precisamos poder calcular
e e escolher um chute inicial razoável. Convergência local é normalmente rápida (quadrática) se estiver suficientemente perto da raiz e na vizinhança. - Critério de parada que usaremos: parámos quando a diferença entre iterações estiver abaixo de
, ou seja quando . Esse é um critério prático e compatível com o pedido.
Passo 3
Simplificação útil e definição das funções:
- É conveniente usar a mudança de variável
. Assim varia em quando varia em . - Definimos a função em
:
e sua derivada:
- Resolver
em é equivalente a resolver a equação original; depois voltamos a por . - A iteração de Newton em
é
Passo 4
Verificação de existência de raiz no intervalo (mudança de sinal):
- Calculamos
nos extremos (pegando ): - Para
temos . Então
que é negativo. - Para
temos . Então
que é positivo. - Para
- Como
e , por continuidade existe pelo menos uma raiz em , isto é, uma raiz em . Há uma única mudança de sinal visível, portanto esperamos uma raiz única nesse intervalo.
Passo 5
Escolha do chute inicial e justificativa:
- Observando os valores,
é muito pequeno e positivo:
- Portanto escolhemos o chute inicial
porque já está bem próximo da raiz e deve convergir rapidamente.
Passo 6
Primeira iteração de Newton (cálculos detalhados passo a passo):
- Calculamos
e :
- Calculamos o incremento da iteração:
- Atualizamos:
- Voltando para
:
Passo 7
Verificação do critério de parada:
- Calculamos a diferença entre iterações:
- Como
(isto é, ), o critério de parada foi satisfeito já após uma iteração. - Assim aceitamos
como aproximação com a precisão exigida.
Passo 8
Comentário final sobre precisão e confiança na resposta:
- A aproximação obtida
está dentro de da raiz verdadeira; a função foi bem comportada (derivada não nula em ), e Newton convergiu rapidamente. - Se quisermos maior segurança, poderíamos fazer mais uma iteração e verificar
para confirmar que o resíduo é pequeno; porém para a precisão pedida isso não é necessário.