Se V=\operatorname{ger}\{(1,2,0),(-1,3,6),(0,5,6),(-2,1,6)\} então \operatorname{dim}(V) é:
(a) 5
(b) 2
(c) 1
(d) 4
(e) 3
Passo 1
O enunciado dá o subespaço gerado por quatro vetores em \mathbb{R}^3 e pede a dimensão desse subespaço. Vetores fornecidos:
\,v_1=(1,2,0),
\,v_2=(-1,3,6),
\,v_3=(0,5,6),
\,v_4=(-2,1,6).
A pergunta é: qual é \dim(V) quando V=\operatorname{ger}\{v_1,v_2,v_3,v_4\}?
Passo 2
Conceitos rápidos (para a prova):
O conjunto gerado (span) por vetores é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores.
A dimensão do espaço gerado é o número máximo de vetores linearmente independentes que esse conjunto contém.
Uma forma prática de encontrar esse número é montar uma matriz cujas colunas são os vetores dados e calcular o posto (rank) dessa matriz por eliminação de Gauss: o número de pivôs (linhas não nulas na forma escalonada) é o posto, e o posto das colunas é exatamente a dimensão do espaço gerado pelos vetores-coluna.
Vou então montar a matriz cujas colunas são v_1,v_2,v_3,v_4 e fazer eliminação de Gauss.
Agora usar o segundo pivô (na coluna 2) para zerar abaixo: fator é 6/5. Fazemos R_3 \leftarrow R_3 - \dfrac{6}{5}R_2.
Calculemos componente a componente:
Há exatamente 2 pivôs. Pelo que expliquei no passo anterior, o posto (rank) das colunas é 2, logo o número máximo de vetores linearmente independentes entre \{v_1,v_2,v_3,v_4\} é 2.]
Passo 5
Para ficar mais claro, mostro relações lineares explícitas entre os vetores (isso ajuda na prova, pois às vezes é mais rápido reconhecer dependências):
Subtraindo \,v_2 de \,v_3 obtém-se \,v_1:
v_3 - v_2 = (0,5,6) - (-1,3,6) = (1,2,0) = v_1.
Logo v_1 é combinação linear de v_2 e v_3.
Para v_4, procuremos \alpha,\beta tais que \alpha v_1 + \beta v_2 = v_4. A componente z dá 6\beta = 6\Rightarrow \beta=1. Com \beta=1, da componente x: \alpha -1 = -2\Rightarrow \alpha=-1. Verificando a componente y: 2(-1)+3(1)=1, OK. Assim
v_4 = -v_1 + v_2.
Logo v_4 também é combinação de v_1,v_2 (e portanto de v_2,v_3 já que v_1 depende de v_2,v_3). Assim uma base possível do espaço gerado é \{v_2,v_3\}, que contém exatamente 2 vetores independentes.