Se V=\operatorname{ger}\{(1,2,0),(-1,3,6),(0,5,6),(-2,1,6)\} então \operatorname{dim}(V) é:
(a) 5
(b) 2
(c) 1
(d) 4
(e) 3

Passo 1

O enunciado dá o subespaço gerado por quatro vetores em \mathbb{R}^3 e pede a dimensão desse subespaço. Vetores fornecidos:
  • \,v_1=(1,2,0),
  • \,v_2=(-1,3,6),
  • \,v_3=(0,5,6),
  • \,v_4=(-2,1,6).
A pergunta é: qual é \dim(V) quando V=\operatorname{ger}\{v_1,v_2,v_3,v_4\}?

Passo 2

Conceitos rápidos (para a prova):
  • O conjunto gerado (span) por vetores é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores.
  • A dimensão do espaço gerado é o número máximo de vetores linearmente independentes que esse conjunto contém.
  • Uma forma prática de encontrar esse número é montar uma matriz cujas colunas são os vetores dados e calcular o posto (rank) dessa matriz por eliminação de Gauss: o número de pivôs (linhas não nulas na forma escalonada) é o posto, e o posto das colunas é exatamente a dimensão do espaço gerado pelos vetores-coluna.
Vou então montar a matriz cujas colunas são v_1,v_2,v_3,v_4 e fazer eliminação de Gauss.

Passo 3

Matriz A (colunas são os vetores geradores):
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & -2\\\\ 2 & 3 & 5 & 1\\\\ 0 & 6 & 6 & 6 \end{pmatrix}.
Aplicamos operações elementares para escalonar. Primeiro, eliminar abaixo do pivô da primeira coluna: R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1.
Calculemos:
R_2 - 2R_1 = (2,3,5,1) - 2(1,-1,0,-2) = (2,3,5,1) - (2,-2,0,-4) = (0,5,5,5).
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & -2\\[4pt] 0 & 5 & 5 & 5\\[4pt] 0 & 6 & 6 & 6 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora usar o segundo pivô (na coluna 2) para zerar abaixo: fator é 6/5. Fazemos R_3 \leftarrow R_3 - \dfrac{6}{5}R_2.
Calculemos componente a componente:
R_3 - \frac{6}{5}R_2 = (0,6,6,6) - \frac{6}{5}(0,5,5,5) = (0,6,6,6) - (0,6,6,6) = (0,0,0,0).
Portanto a forma escalonada tem só duas linhas não nulas:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & -2\\[4pt] 0 & 5 & 5 & 5\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Há exatamente 2 pivôs. Pelo que expliquei no passo anterior, o posto (rank) das colunas é 2, logo o número máximo de vetores linearmente independentes entre \{v_1,v_2,v_3,v_4\} é 2.]

Passo 5

Para ficar mais claro, mostro relações lineares explícitas entre os vetores (isso ajuda na prova, pois às vezes é mais rápido reconhecer dependências):
  • Subtraindo \,v_2 de \,v_3 obtém-se \,v_1:
v_3 - v_2 = (0,5,6) - (-1,3,6) = (1,2,0) = v_1.
Logo v_1 é combinação linear de v_2 e v_3.
  • Para v_4, procuremos \alpha,\beta tais que \alpha v_1 + \beta v_2 = v_4. A componente z 6\beta = 6\Rightarrow \beta=1. Com \beta=1, da componente x: \alpha -1 = -2\Rightarrow \alpha=-1. Verificando a componente y: 2(-1)+3(1)=1, OK. Assim
v_4 = -v_1 + v_2.
Logo v_4 também é combinação de v_1,v_2 (e portanto de v_2,v_3 já que v_1 depende de v_2,v_3). Assim uma base possível do espaço gerado é \{v_2,v_3\}, que contém exatamente 2 vetores independentes.

Resposta

(b) 2

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