Para que valor de \mathrm{u} / \mathrm{c} a massa medida de uma partícula excede a massa de repouso em 10 \%?

Passo 1

O enunciado pede: “Para que valor de u/c a massa medida de uma partícula excede a massa de repouso em 10\%?”
Informações dadas e o que isso significa (lista limpa):
  • A massa medida (relativística) é 10\% maior que a massa de repouso. Ou seja, se a massa de repouso é m_0, a massa medida m satisfaz m = 1{,}10\,m_0.
  • A incógnita pedida é a razão u/c, onde u é a velocidade da partícula e c é a velocidade da luz.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado didaticamente): em relatividade restrita, a “massa relativística” m é relacionada à massa de repouso m_0 por um fator chamado fator de Lorentz \gamma. A relação é
m=\gamma\,m_0.
Aqui \gamma é dado por
\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-(u/c)^2}}.
Explicando o que cada símbolo significa:
  • m_0 é a massa medida no referencial em que a partícula está em repouso (massa de repouso).
  • m é a massa medida num referencial onde a partícula se move com velocidade u.
  • c é a velocidade da luz (constante).
  • \gamma é um fator adimensional que cresce quando u se aproxima de c; quando u=0 tem \gamma=1.

Passo 3

Traduzir a condição do enunciado em equação: como m=1{,}10\,m_0 e m=\gamma m_0, temos
\gamma=1{,}10=\dfrac{11}{10}.
Substituindo a expressão de \gamma em termos de u/c (denotar \beta\equiv u/c para simplificar):
\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}=\dfrac{11}{10}.

Passo 4

Resolver algebricamente para \beta passo a passo (sem pular etapas):
  1. Inverter ambos os lados:
\sqrt{1-\beta^2}=\dfrac{10}{11}.
  1. Elevar ao quadrado:
1-\beta^2=\left(\dfrac{10}{11}\right)^2=\dfrac{100}{121}.
  1. Isolar \beta^2:
\beta^2=1-\dfrac{100}{121}=\dfrac{121-100}{121}=\dfrac{21}{121}.
  1. Tirar raiz quadrada (tomando a raiz positiva porque u/c é positivo neste contexto):
\beta=\dfrac{\sqrt{21}}{11}.
Lembrete: \beta é exatamente \dfrac{\sqrt{21}}{11}.

Passo 5

Interpretação numérica e verificação simples (aproximação sem calculadora avançada):
  • \sqrt{21} fica entre \sqrt{16}=4 e \sqrt{25}=5; mais precisamente \sqrt{21}\approx 4{,}5826.
  • Dividindo por 11 \beta\approx 0{,}4166.
    Portanto u/c\approx0{,}4166. Isso significa que uma partícula com velocidade cerca de 41{,}7\% da velocidade da luz tem massa medida 10\% maior que sua massa de repouso.

Resposta

\dfrac{\sqrt{21}}{11}\approx0,4166

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