1. O valor x \in \mathbb{R} a fim de que o comprimento do vetor \vec{u}=(x-1, x+1, x) seja igual a 2 unidades é:
    а) x= \pm \sqrt{\frac{3}{2}}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os valores x\in\mathbb{R} tais que o comprimento (norma) do vetor \vec{u}=(x-1,\;x+1,\;x) seja igual a 2 unidades. Informações dadas:
  • O vetor é \vec{u}=(x-1,\;x+1,\;x).
  • Queremos \|\vec{u}\|=2.
  • Foi fornecida uma alternativa: x=\pm \sqrt{\frac{3}{2}} (vamos comparar com o resultado que obtivermos).

Passo 2

Conceito necessário (explicação didática): o comprimento (norma) de um vetor \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) em \mathbb{R}^3 é dado por
\|\vec{v}\|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}.
Aqui v_1,v_2,v_3 são as componentes do vetor; o quadrado da norma é a soma dos quadrados das componentes. Aplicando isso ao nosso vetor \vec{u}, identificamos v_1=x-1, v_2=x+1, v_3=x.

Passo 3

Usar a fórmula para escrever a condição \|\vec{u}\|=2. Primeiro escrevemos o quadrado da norma (para evitar raiz):
\|\vec{u}\|^2=(x-1)^2+(x+1)^2+x^2.
Como \|\vec{u}\|=2, então \|\vec{u}\|^2=2^2=4. Assim:
(x-1)^2+(x+1)^2+x^2=4.
Agora expandimos cada quadrado passo a passo:
(x-1)^2=x^2-2x+1,
(x+1)^2=x^2+2x+1,
x^2=x^2.
Somando as três expressões:
(x^2-2x+1)+(x^2+2x+1)+x^2=3x^2+( -2x+2x )+2=3x^2+2.
Portanto a equação fica
3x^2+2=4.

Passo 4

Resolver a equação obtida. Subtrair 2 dos dois lados:
3x^2=2.
Dividir por 3:
x^2=\frac{2}{3}.
Tirar raiz quadrada (lembrando que devemos considerar os dois sinais, pois x pode ser positivo ou negativo):
x=\pm\sqrt{\frac{2}{3}}.
Comentário didático: quando elevamos ao quadrado ao trabalhar com norma, perdemos informação do sinal de x; por isso devemos sempre considerar \pm ao extrair a raiz. Aqui tanto +\sqrt{\tfrac{2}{3}} quanto -\sqrt{\tfrac{2}{3}} satisfazem a condição original, porque a norma depende de x^2.

Passo 5

Verificação rápida (para ter certeza): se x^2=\dfrac{2}{3}, então
(x-1)^2+(x+1)^2+x^2=3x^2+2=3\cdot\frac{2}{3}+2=2+2=4,
logo \|\vec{u}\|=\sqrt{4}=2. Ambas as soluções funcionam.

Resposta

x=\pm\sqrt{\dfrac{2}{3}}

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