1. Os valores a e b a fim de que \vec{u}= (-1,-2, a) e \vec{v}=(b, 6,-6) sejam paralelos são tais que:
    а) 0<a<b

Passo 1

O enunciado dá dois vetores e pede determinar os valores de a e b para que os vetores sejam paralelos. Dados:
  • \vec{u}=(-1,-2,a).
  • \vec{v}=(b,6,-6).
O que é pedido explicitamente:
  • Encontrar os números a e b tais que \vec{u} e \vec{v} sejam paralelos.
  • A alternativa apresentada é: (a) 0<a<b. Iremos achar a e b e verificar essa desigualdade.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado passo a passo): dois vetores em \mathbb{R}^3 são paralelos se, e somente se, um é múltiplo escalar do outro. Isso significa que existe um número real k tal que
\vec{u}=k\,\vec{v}.
Aqui \vec{u}=(-1,-2,a) e \vec{v}=(b,6,-6). Escrever \vec{u}=k\,\vec{v} componente a componente significa igualar cada coordenada correspondente:
-1 = k\cdot b, \qquad -2 = k\cdot 6, \qquad a = k\cdot (-6).
Cada uma dessas três equalidades vem de comparar as três componentes (primeira com primeira, segunda com segunda, terceira com terceira).

Passo 3

Vamos resolver essas igualdades uma a uma, começando pela mais simples. Da segunda igualdade:
-2 = k\cdot 6.
Isolando k, dividimos ambos os lados por 6:
k = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}.
Então o escalar que transforma \vec{v} em \vec{u}, se existir, deve ser k=-\dfrac{1}{3}.

Passo 4

Usamos esse k nas outras igualdades para obter a e b.
Da primeira igualdade -1 = k\cdot b, substituindo k:
-1 = \left(-\frac{1}{3}\right) b.
Multiplicando ambos os lados por -3 (ou isolando b) obtemos:
b = 3.
Explicando devagar: \left(-\dfrac{1}{3}\right)b = -1 é o mesmo que b/3 = 1, então b=3.

Passo 5

Agora a terceira igualdade a = k\cdot(-6). Substituindo k=-\dfrac{1}{3}:
a = \left(-\frac{1}{3}\right)\cdot(-6).
Calcule o produto: -\dfrac{1}{3}\times -6 = 2. Portanto
a = 2.
Mostrando a conta: -6 dividido por 3 é -2, com o sinal negativo de k temos (-)\times(-) = +, logo 2.

Passo 6

Verificação final (sempre bom conferir): com b=3 e a=2 temos
\vec{v}=(3,6,-6), \qquad k\,\vec{v} = -\frac{1}{3}(3,6,-6) = (-1,-2,2)=\vec{u},
ou seja, realmente \vec{u}=k\vec{v} com k=-\dfrac{1}{3}. A relação de paralelismo está satisfeita.

Passo 7

Agora respondemos à alternativa dada: com a=2 e b=3 temos 0<a<b pois 0<2<3. Logo a desigualdade proposta na alternativa (a) é verdadeira para os valores que tornam os vetores paralelos.

Resposta

a=2,\; b=3 (logo 0<a<b é verdadeiro)

Exercícios relacionados