Para os valores da matriz A e vetor b nos itens abaixo, encontre, se for possível, um vetor x tal que T(x)=b. A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\\\ 2 & -1 & 3\end{array}\right], \quad b=\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 3\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá a matriz A e o vetor b e pede para encontrar, se possível, um vetor x tal que T(x)=b. Como T é a transformação linear representada por A, isso equivale a resolver A x=b.
Encontrar todos os vetores x=\begin{bmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^3 que satisfaçam A x=b, ou dizer que não existe solução.]
Passo 2
Escrevendo A x=b\) como um sistema linear de equações em \(x_1,x_2,x_3\). Multiplicando as linhas da matriz por \(x\) obtemos:
\[\begin{cases} x_1 + x_3 = 2,\\[4pt] 2x_1 - x_2 + 3x_3 = 3. \end{cases}
Aqui cada equação veio de uma linha de A\]: a primeira linha \(\begin{bmatrix}1 & 0 & 1\end{bmatrix} dá 1\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + 1\cdot x_3 = 2, e a segunda linha \begin{bmatrix}2 & -1 & 3\end{bmatrix} dá 2x_1 - x_2 + 3x_3 = 3.]
Passo 3
Vamos resolver o sistema por substituição (método simples e direto aqui). Da primeira equação:
x_1 = 2 - x_3.
Substituímos esse x_1 na segunda equação:
2(2 - x_3) - x_2 + 3x_3 = 3.
Agora desenvolvendo:
4 - 2x_3 - x_2 + 3x_3 = 3.
Reagrupando os termos em x_2 e x_3:
4 + x_3 - x_2 = 3.
Isolando x_2:
-x_2 = 3 - 4 - x_3 = -1 - x_3,
portanto
x_2 = 1 + x_3.
Passo 4
Concluímos que x_3 é uma variável livre (não aparece repetida com outro coeficiente independente) e podemos parametrizar por t\in\mathbb{R} colocando x_3=t. Então:
Interpretação e verificação rápida (útil para prova):
A solução existe porque b está no espaço gerado pelas colunas de A. De fato, tomando t=0 obtemos a solução particular x=\begin{bmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]0\end{bmatrix} e verificando:
O conjunto de todas as soluções é a solução particular mais qualquer vetor da nulidade de A. O vetor que gera a nulidade aqui é \begin{bmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{bmatrix}, porque A\begin{bmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{bmatrix}=0.]