Para os valores da matriz A e vetor b nos itens abaixo, encontre, se for possível, um vetor x tal que T(x)=b.
A=\left[\begin{array}{cc}11 & -1 \\\\ 2 & 5 \\\\ 1 & 6\end{array}\right], \quad b=\left[\begin{array}{c}2 \\\\ -3 \\\\ 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz A e o vetor b e pede para encontrar, se possível, um vetor x tal que T(x)=b. Os dados são:
A=\begin{pmatrix}11 & -1 \\[4pt] 2 & 5 \\[4pt] 1 & 6\end{pmatrix}, \qquad b=\begin{pmatrix}2\\[4pt]-3\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Como A é 3\times2, procuramos um vetor x=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^2 que satisfaça a equação matricial
A x = b,
isto é, o sistema linear de três equações em duas incógnitas:
\begin{cases} 11x_1 - x_2 = 2,\\[4pt] 2x_1 +5x_2 = -3,\\[4pt] x_1 +6x_2 = 2. \end{cases}]

Passo 2

Explicação do método que vou usar (bem passo a passo e didática):
  • Resolver A x = b é o mesmo que verificar se b é combinação linear das colunas de A. As colunas de A são
c_1=\begin{pmatrix}11\\[4pt]2\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad c_2=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]5\\[4pt]6\end{pmatrix},
e procuramos escalares x_1,x_2 tais que x_1 c_1 + x_2 c_2 = b.
  • Ferramenta prática: montar a matriz aumentada \bigl[A\mid b\bigr] e aplicar eliminação de Gauss (operações elementares por linhas) para ver se o sistema é consistente. Se ao final aparecer uma linha do tipo \bigl[0\\\ 0\mid \alpha\bigr] com \alpha\neq 0, então há contradição e o sistema não tem solução.
    Vou aplicar exatamente esse processo, mostrando cada operação e as contas.]

Passo 3

Montando a matriz aumentada:
\left[\begin{array}{cc|c} 11 & -1 & 2\\[4pt] 2 & 5 & -3\\[4pt] 1 & 6 & 2 \end{array}\right].
Para facilitar a eliminação, troco a linha 1 com a linha 3 (assim o pivô fica 1):
\stackrel{R_1\leftrightarrow R_3}{\longrightarrow} \left[\begin{array}{cc|c} 1 & 6 & 2\\[4pt] 2 & 5 & -3\\[4pt] 11 & -1 & 2 \end{array}\right].]

Passo 4

Eliminar abaixo do pivô da primeira coluna usando R_1.
  • Atualizo R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1: R_2: \; (2,\,5,\, -3) - 2\cdot(1,\,6,\,2) = (0,\,5-12,\, -3-4) = (0,\,-7,\,-7).
  • Atualizo R_3 \leftarrow R_3 - 11R_1: R_3: \; (11,\,-1,\,2) - 11\cdot(1,\,6,\,2) = (0,\,-1-66,\,2-22) = (0,\,-67,\,-20).
A matriz fica
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 6 & 2\\[4pt] 0 & -7 & -7\\[4pt] 0 & -67 & -20 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora uso a segunda linha como pivô para zerar a entrada da segunda coluna em R_3.
  • Observe que -67 = \dfrac{67}{7}\cdot(-7). Faço R_3 \leftarrow R_3 - \dfrac{67}{7}R_2. Nos termos do lado direito: \text{nova entrada direita em } R_3 = -20 - \frac{67}{7}\cdot(-7) = -20 + 67 = 47.
  • Para a segunda coluna o cálculo é -67 - \frac{67}{7}\cdot(-7) = -67 +67 = 0.
Assim a terceira linha fica (0,\;0,\;47) e a matriz reduzida é
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 6 & 2\\[4pt] 0 & -7 & -7\\[4pt] 0 & 0 & 47 \end{array}\right].]

Passo 6

Interpretação do que apareceu: a terceira linha corresponde à equação
0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 = 47,
ou seja \;0=47, que é uma contradição impossível. Isso significa que o sistema é inconsistente: não existe nenhum par (x_1,x_2) que satisfaça simultaneamente as três equações originais.
Em termos de teoria linear: \operatorname{rank}(A)=2 (as duas primeiras colunas independentes), mas \operatorname{rank}\bigl([A\mid b]\bigr)=3; como os postos são diferentes, b não pertence ao espaço coluna de A e não há solução.

Passo 7

Conclusão final (com palavrinha de incentivo): infelizmente neste caso não existe x que resolva T(x)=b. Isso é comum quando a imagem de T (colunas de A) não “alcança” o vetor b. Vai dar tudo certo nos próximos exercícios — praticando eliminações assim você vai identificar inconsistências rapidinho!

Resposta

Não existe nenhum vetor x\in\mathbb{R}^2 tal que T(x)=b.

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