Para os valores da matriz A e vetor b nos itens abaixo, encontre, se for possível, um vetor x tal que T(x)=b. A=\left[\begin{array}{cc}11 & -1 \\\\ 2 & 5 \\\\ 1 & 6\end{array}\right], \quad b=\left[\begin{array}{c}2 \\\\ -3 \\\\ 2\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá a matriz A e o vetor b e pede para encontrar, se possível, um vetor x tal que T(x)=b. Os dados são:
e procuramos escalares x_1,x_2 tais que x_1 c_1 + x_2 c_2 = b.
Ferramenta prática: montar a matriz aumentada \bigl[A\mid b\bigr] e aplicar eliminação de Gauss (operações elementares por linhas) para ver se o sistema é consistente. Se ao final aparecer uma linha do tipo \bigl[0\\\ 0\mid \alpha\bigr] com \alpha\neq 0, então há contradição e o sistema não tem solução.
Vou aplicar exatamente esse processo, mostrando cada operação e as contas.]
Interpretação do que apareceu: a terceira linha corresponde à equação
0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 = 47,
ou seja \;0=47, que é uma contradição impossível. Isso significa que o sistema é inconsistente: não existe nenhum par (x_1,x_2) que satisfaça simultaneamente as três equações originais.
Em termos de teoria linear: \operatorname{rank}(A)=2 (as duas primeiras colunas independentes), mas \operatorname{rank}\bigl([A\mid b]\bigr)=3; como os postos são diferentes, b não pertence ao espaço coluna de A e não há solução.
Passo 7
Conclusão final (com palavrinha de incentivo): infelizmente neste caso não existe x que resolva T(x)=b. Isso é comum quando a imagem de T (colunas de A) não “alcança” o vetor b. Vai dar tudo certo nos próximos exercícios — praticando eliminações assim você vai identificar inconsistências rapidinho!
Resposta
Não existe nenhum vetor x\in\mathbb{R}^2 tal que T(x)=b.