Uma variação do aparato da gota de óleo de Millikan dispõe o campo elétrico horizontalmente, em vez de verticalmente, fazendo com que as gotículas carregadas sofram aceleração na direção horizontal. O resultado é que a gotícula cai em linha reta, formando um ângulo
com a vertical. Mostre que
em que
é a velocidade terminal ao longo da trajetória inclinada.
Passo 1
O enunciado dá uma variação do experimento de Millikan em que o campo elétrico está na direção horizontal e a gotícula carregada cai numa trajetória retilínea inclinada, fazendo um ângulo
com a vertical. As grandezas explícitas no enunciado são:
- carga da gotícula:
; - intensidade do campo elétrico:
(horizontal); - coeficiente de arrasto linear:
(tal que a força de arrasto tem módulo ); - velocidade terminal ao longo da trajetória inclinada:
; - ângulo entre a trajetória e a vertical:
.
O que o problema pede: mostrar que
Passo 2
Identificar e desenhar (mentalmente) as forças atuantes na gotícula e a hipótese de equilíbrio dinâmico (velocidade terminal). As forças são:
- peso, vertical para baixo, de módulo
; - força elétrica, horizontal (direção do campo) de módulo
; - força de arrasto viscosa, que aqui é tomada linear em
, dada por (ou seja, tem módulo e aponta sempre na direção oposta à velocidade).
Explicando a força de arrasto linear: escrevemos
. Aqui
é uma constante que mede a resistência do ar ao movimento pequeno e
é o módulo da velocidade. A direção de
é exatamente oposta à velocidade instantânea.
Velocidade terminal significa que a gotícula já atingiu um regime em que a velocidade é constante ao longo da trajetória inclinada; portanto a soma vetorial de todas as forças é zero (aceleração nula).
Passo 3
Escolher um sistema de eixos conveniente e decompor vetores. Tome:
- eixo
: horizontal, na direção do campo elétrico (para a direita); - eixo
: vertical para baixo.
A velocidade terminal
é inclinada de
em relação à vertical; assim suas componentes são
A força de arrasto é oposta a
e tem módulo
. Suas componentes (no sentido positivo dos eixos definidos) são, portanto,
Passo 4
Escrever as condições de equilíbrio (soma das forças igual a zero) nas direções
e
.
Na direção horizontal (
):
a única força para a direita é e o arrasto tem componente para a esquerda, logo
a única força para a direita é
Na direção vertical (
):
para baixo há o peso e para cima a componente vertical do arrasto (lembrar que a componente do arrasto no sentido positivo
foi escrita negativa), portanto
para baixo há o peso
Ambas expressam o fato de que, no regime terminal, não há aceleração em
nem em
.
Passo 5
Isolar
a partir da equação horizontal. Da equação
temos imediatamente
Como verificação rápida (opcional): dividindo a equação horizontal pela vertical obtém-se
o que dá uma relação intuitiva entre forças horizontais e verticais. Mas para o objetivo pedido, a expressão acima para
é a que queríamos demonstrar.