Uma variação do aparato da gota de óleo de Millikan dispõe o campo elétrico horizontalmente, em vez de verticalmente, fazendo com que as gotículas carregadas sofram aceleração na direção horizontal. O resultado é que a gotícula cai em linha reta, formando um ângulo \theta com a vertical. Mostre que
\operatorname{sen} \theta=q \mathcal{E} / b v_{t}
em que v_{t} é a velocidade terminal ao longo da trajetória inclinada.

Passo 1

O enunciado dá uma variação do experimento de Millikan em que o campo elétrico está na direção horizontal e a gotícula carregada cai numa trajetória retilínea inclinada, fazendo um ângulo \theta com a vertical. As grandezas explícitas no enunciado são:
  • carga da gotícula: q;
  • intensidade do campo elétrico: \mathcal{E} (horizontal);
  • coeficiente de arrasto linear: b (tal que a força de arrasto tem módulo b v);
  • velocidade terminal ao longo da trajetória inclinada: v_{t};
  • ângulo entre a trajetória e a vertical: \theta.
O que o problema pede: mostrar que
\sin\theta=\dfrac{q\mathcal{E}}{b v_{t}}.

Passo 2

Identificar e desenhar (mentalmente) as forças atuantes na gotícula e a hipótese de equilíbrio dinâmico (velocidade terminal). As forças são:
  • peso, vertical para baixo, de módulo mg;
  • força elétrica, horizontal (direção do campo) de módulo q\mathcal{E};
  • força de arrasto viscosa, que aqui é tomada linear em v, dada por -b\vec v (ou seja, tem módulo b v e aponta sempre na direção oposta à velocidade).
Explicando a força de arrasto linear: escrevemos \vec F_D=-b\vec v. Aqui b é uma constante que mede a resistência do ar ao movimento pequeno e v é o módulo da velocidade. A direção de \vec F_D é exatamente oposta à velocidade instantânea.
Velocidade terminal significa que a gotícula já atingiu um regime em que a velocidade é constante ao longo da trajetória inclinada; portanto a soma vetorial de todas as forças é zero (aceleração nula).

Passo 3

Escolher um sistema de eixos conveniente e decompor vetores. Tome:
  • eixo x: horizontal, na direção do campo elétrico \mathcal{E} (para a direita);
  • eixo y: vertical para baixo.
A velocidade terminal \vec v_{t} é inclinada de \theta em relação à vertical; assim suas componentes são
v_{x}=v_{t}\sin\theta,\qquad v_{y}=v_{t}\cos\theta.
A força de arrasto é oposta a \vec v_{t} e tem módulo b v_{t}. Suas componentes (no sentido positivo dos eixos definidos) são, portanto,
F_{D,x}=-b v_{t}\sin\theta,\qquad F_{D,y}=-b v_{t}\cos\theta.

Passo 4

Escrever as condições de equilíbrio (soma das forças igual a zero) nas direções x e y.
Na direção horizontal ( x):
a única força para a direita é q\mathcal{E} e o arrasto tem componente para a esquerda, logo
q\mathcal{E}-b v_{t}\sin\theta=0.
Na direção vertical ( y):
para baixo há o peso mg e para cima a componente vertical do arrasto (lembrar que a componente do arrasto no sentido positivo y foi escrita negativa), portanto
mg-b v_{t}\cos\theta=0.
Ambas expressam o fato de que, no regime terminal, não há aceleração em x nem em y.

Passo 5

Isolar \sin\theta a partir da equação horizontal. Da equação
q\mathcal{E}-b v_{t}\sin\theta=0
temos imediatamente
\sin\theta=\dfrac{q\mathcal{E}}{b v_{t}}.
Como verificação rápida (opcional): dividindo a equação horizontal pela vertical obtém-se
\tan\theta=\dfrac{q\mathcal{E}}{mg},
o que dá uma relação intuitiva entre forças horizontais e verticais. Mas para o objetivo pedido, a expressão acima para \sin\theta é a que queríamos demonstrar.

Resposta

\sin\theta=\dfrac{q\mathcal{E}}{b v_{t}}

Exercícios relacionados