A variável aleatória bidimensional, (X, Y), tem sua distribuição conjunta descrita na seguinte tabela:
(X, Y) I 2 3
\frac{1}{24} \frac{1}{24} \frac{1}{24}
I \frac{1}{8} \frac{1}{8} \frac{1}{8}
2 \frac{1}{8} \frac{1}{8} \frac{1}{8}
3 \frac{1}{24} \frac{1}{24} \frac{1}{24}
Descreva a distribuição marginal de X e a distribuição marginal de Y.

Passo 1

O enunciado nos dá a distribuição conjunta de (X,Y) em forma de tabela. Eu usei os valores diretamente da tabela enviada: as linhas (valores de X) são 0,1,2,3 (o primeiro rótulo da primeira linha parecia um círculo, interpretei como 0) e as colunas (valores de Y) são 1,2,3. As probabilidades conjuntas são:
\begin{array}{c|ccc} & Y=1 & Y=2 & Y=3\\hline X=0 & \tfrac{1}{24} & \tfrac{1}{24} & \tfrac{1}{24}\\\ X=1 & \tfrac{1}{8} & \tfrac{1}{8} & \tfrac{1}{8}\\\ X=2 & \tfrac{1}{8} & \tfrac{1}{8} & \tfrac{1}{8}\\\ X=3 & \tfrac{1}{24} & \tfrac{1}{24} & \tfrac{1}{24} \end{array}
A pergunta pede: descrever a distribuição marginal de X e a distribuição marginal de Y.

Passo 2

Definição e ideia prática: a distribuição marginal de X dá as probabilidades de cada valor de X isoladamente. Para obter P(X=x) somamos as probabilidades conjuntas sobre todos os possíveis valores de Y:
P(X=x)=\sum_{y} P(X=x,Y=y).
Analogamente, a distribuição marginal de Y é
P(Y=y)=\sum_{x} P(X=x,Y=y).
Aqui x percorre \{0,1,2,3\} e y percorre \{1,2,3\}.

Passo 3

Cálculo de P(X=x) para cada x.
Para X=0, somamos as três entradas da primeira linha da tabela:
P(X=0)=\tfrac{1}{24}+\tfrac{1}{24}+\tfrac{1}{24}=\tfrac{3}{24}=\tfrac{1}{8}.
Para X=1, somamos as três entradas da segunda linha:
P(X=1)=\tfrac{1}{8}+\tfrac{1}{8}+\tfrac{1}{8}=\tfrac{3}{8}.
Para X=2, somamos as três entradas da terceira linha:
P(X=2)=\tfrac{1}{8}+\tfrac{1}{8}+\tfrac{1}{8}=\tfrac{3}{8}.
Para X=3, somamos as três entradas da quarta linha:
P(X=3)=\tfrac{1}{24}+\tfrac{1}{24}+\tfrac{1}{24}=\tfrac{3}{24}=\tfrac{1}{8}.

Passo 4

Cálculo de P(Y=y) para cada y.
Para Y=1, somamos as entradas da primeira coluna (peguei esses valores da tabela):
P(Y=1)=\tfrac{1}{24}+\tfrac{1}{8}+\tfrac{1}{8}+\tfrac{1}{24}.
Fazendo as somas passo a passo: \tfrac{1}{24}+\tfrac{1}{24}=\tfrac{1}{12} e \tfrac{1}{8}+\tfrac{1}{8}=\tfrac{1}{4}. Então
P(Y=1)=\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{12}=\tfrac{3}{12}+\tfrac{1}{12}=\tfrac{4}{12}=\tfrac{1}{3}.
Para Y=2, as entradas da segunda coluna são exatamente as mesmas que da primeira (peguei da tabela), logo
P(Y=2)=\tfrac{1}{3}.
Para Y=3, idem (mesma coluna padrão na tabela), então
P(Y=3)=\tfrac{1}{3}.

Passo 5

Verificação rápida (importante em prova): as marginais somam 1.
Somando as probabilidades de X:
\tfrac{1}{8}+\tfrac{3}{8}+\tfrac{3}{8}+\tfrac{1}{8}=1.
Somando as probabilidades de Y:
\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3}=1.
Tudo consistente.

Resposta

P(X=0)=\tfrac{1}{8},\; P(X=1)=\tfrac{3}{8},\; P(X=2)=\tfrac{3}{8},\; P(X=3)=\tfrac{1}{8}\n
P(Y=1)=\tfrac{1}{3},\; P(Y=2)=\tfrac{1}{3},\; P(Y=3)=\tfrac{1}{3}

Exercícios relacionados