Uma variável aleatória X é distribuída normalmente com média \mu e desvio-padrão 9. A hipótese nula \mu=7 deve ser testada contra a hipótese alternativa \mu<7. Uma amostra aleatória de tamanho 20 é coletada e a hipótese nula será rejeitada se a média amostral for menor ou igual a 3,9 .
Encontre a probabilidade de um erro do Tipo I.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a probabilidade de um erro do Tipo I, dadas as seguintes informações:
A variável aleatória X é distribuída normalmente com média \mu e desvio-padrão 9. A hipótese nula é \mu=7 e a hipótese alternativa é \mu<7. Uma amostra aleatória de tamanho 20 é coletada e a regra de rejeição é: rejeitar H_0 se a média amostral for menor ou igual a 3,9.
Dados relevantes listados:
\; \sigma = 9 (desvio-padrão populacional), \; n = 20 (tamanho da amostra), \; \bar{X}_{\text{crit}} = 3,9 (valor crítico da média amostral), e hipótese nula \mu=7.
A pergunta: qual é a probabilidade de rejeitar H_0 quando H_0 é verdadeira (ou seja, \Pr(\text{erro do Tipo I}))?

Passo 2

Definição e tradução para probabilidade: um erro do Tipo I ocorre quando rejeitamos H_0 embora H_0 seja verdadeira. Portanto a probabilidade pedida é
\alpha = \Pr\bigl(\bar{X} \le 3,9 \mid \mu=7\bigr).
Aqui \alpha é o nível real do teste (probabilidade de erro do Tipo I) e \bar{X} é a média amostral.

Passo 3

Distribuição da média amostral e explicação: como a população é normal e conhecemos \sigma, a média amostral tem distribuição normal exata. Em geral,
\bar{X} \sim N\!\left(\mu,\;\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right),
onde \mu é a média populacional verdadeira, \sigma é o desvio-padrão populacional e n é o tamanho da amostra. Substituindo os valores sob H_0 ( \mu=7, \sigma=9, n=20) obtemos que o desvio-padrão da média (erro padrão) é
\text{SE} = \frac{9}{\sqrt{20}}.
Agora calculamos numericamente a raiz e o erro padrão: \sqrt{20}\approx 4,4721, então
\text{SE} \approx \frac{9}{4,4721} \approx 2,0125.

Passo 4

Padronização para usar a normal padrão: transformamos \bar{X} em uma variável Z com distribuição N(0,1) usando
Z = \frac{\bar{X}-\mu}{\text{SE}}.
Para a probabilidade pedida temos
\alpha = \Pr\bigl(\bar{X} \le 3,9 \mid \mu=7\bigr) = \Pr\!\left(Z \le \frac{3,9-7}{9/\sqrt{20}}\right).
Calculando o numerador e o quociente:
3,9-7 = -3,1,
\frac{3,9-7}{9/\sqrt{20}} \approx \frac{-3,1}{2,0125} \approx -1,5409.
Logo \alpha = \Pr(Z \le -1,5409).

Passo 5

Avaliação da probabilidade pela tabela/calculadora da normal padrão: usando a simetria da normal, \Pr(Z\le -1,5409)=\Pr(Z\ge 1,5409)=1-\Phi(1,5409), onde \Phi é a função distribuição da normal padrão. Consultando tabela ou calculadora obtemos
\Pr(Z\le -1,5409)\approx 0,0618.
Interpretação: isso significa que, se \mu=7 realmente vale, há aproximadamente 6{,}18\% de chance de a média amostral cair em 3,9 ou menos e, portanto, de rejeitarmos H_0 indevidamente.

Resposta

\alpha \approx 0,0618

Exercícios relacionados