Uma variável aleatória
é distribuída normalmente com média
e desvio-padrão 9. A hipótese nula
deve ser testada contra a hipótese alternativa
. Uma amostra aleatória de tamanho 20 é coletada e a hipótese nula será rejeitada se a média amostral for menor ou igual a 3,9 .
Encontre a probabilidade de um erro do Tipo I.
Encontre a probabilidade de um erro do Tipo I.
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a probabilidade de um erro do Tipo I, dadas as seguintes informações:
A variável aleatória é distribuída normalmente com média
e desvio-padrão
. A hipótese nula é
e a hipótese alternativa é
. Uma amostra aleatória de tamanho
é coletada e a regra de rejeição é: rejeitar
se a média amostral for menor ou igual a
.
Dados relevantes listados:
(desvio-padrão populacional),
(tamanho da amostra),
(valor crítico da média amostral), e hipótese nula
.
A pergunta: qual é a probabilidade de rejeitar quando
é verdadeira (ou seja,
)?
A variável aleatória
Dados relevantes listados:
A pergunta: qual é a probabilidade de rejeitar
Passo 2
Definição e tradução para probabilidade: um erro do Tipo I ocorre quando rejeitamos
embora
seja verdadeira. Portanto a probabilidade pedida é
Aqui
é o nível real do teste (probabilidade de erro do Tipo I) e
é a média amostral.
Passo 3
Distribuição da média amostral e explicação: como a população é normal e conhecemos
, a média amostral tem distribuição normal exata. Em geral,
onde
é a média populacional verdadeira,
é o desvio-padrão populacional e
é o tamanho da amostra. Substituindo os valores sob
(
,
,
) obtemos que o desvio-padrão da média (erro padrão) é
Agora calculamos numericamente a raiz e o erro padrão:
, então
Passo 4
Padronização para usar a normal padrão: transformamos
em uma variável
com distribuição
usando
Para a probabilidade pedida temos
Calculando o numerador e o quociente:
Logo
.
Passo 5
Avaliação da probabilidade pela tabela/calculadora da normal padrão: usando a simetria da normal,
, onde
é a função distribuição da normal padrão. Consultando tabela ou calculadora obtemos
Interpretação: isso significa que, se
realmente vale, há aproximadamente
de chance de a média amostral cair em
ou menos e, portanto, de rejeitarmos
indevidamente.