Se \vec{u}=(1,-1,-1) e \vec{v}=(2,-1,1) são vetores diretores de um plano \pi e P=(1,-1,-2) \in \pi, então a equação geral de \pi é:
[scolha uma opção:
◯ a. -2 x+y-3 z-3=0
◯ b. 2 x+3 y+z+3=0
◯ c. -2 x+3 y-z+3=0
◯ d. 2 x+y+3 z+5=0
◯ e. -2 x-3 y+z+1=0
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Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Vetores diretores do plano \pi: \vec{u}=(1,-1,-1) e \vec{v}=(2,-1,1).
  • Um ponto P que pertence a \pi: P=(1,-1,-2).
    A pergunta implícita é: qual é a equação geral do plano \pi (entre as alternativas fornecidas)?

Passo 2

Ideia geral usada (explicação do que vamos calcular):
  • Para obter a equação de um plano a partir de dois vetores diretores \vec{u} e \vec{v} e um ponto P\in\pi, primeiro precisamos de um vetor normal \vec{n} ao plano. Um jeito direto de obter \vec{n} é calcular o produto vetorial (cross product) \vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}.
  • Depois, a equação vetorial do plano é \vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{P})=0, onde \vec{x}=(x,y,z). Expandindo obtém-se a forma geral a x+b y+c z+d=0, com (a,b,c)=\vec{n} e d=-\vec{n}\cdot\vec{P}.
Explicando o produto vetorial de forma didática:
  • Se \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), então o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} é o vetor
\vec{u}\times\vec{v}=\bigl(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\bigr).
Cada componente é uma diferença de produtos cruzados: isso garante que \vec{u}\times\vec{v} seja perpendicular tanto a \vec{u} quanto a \vec{v}.

Passo 3

Calcular \vec{n}=\vec{u}\times\vec{v} aplicando a fórmula componente a componente:
\begin{aligned} n_1 &= u_2v_3-u_3v_2 = (-1)\cdot 1 - (-1)\cdot(-1) = -1 - 1 = -2,\\[4pt] n_2 &= u_3v_1-u_1v_3 = (-1)\cdot 2 - 1\cdot 1 = -2 - 1 = -3,\\[4pt] n_3 &= u_1v_2-u_2v_1 = 1\cdot(-1) - (-1)\cdot 2 = -1 - (-2) = 1. \end{aligned}
Portanto
\vec{n}=(-2,-3,1).]

Passo 4

Verificação rápida (útil na prova): \vec{n} deve ser perpendicular a \vec{u} e a \vec{v}, isto é, o produto escalar deve ser zero.
\vec{n}\cdot\vec{u}=(-2)\cdot 1 + (-3)\cdot(-1) + 1\cdot(-1) = -2+3-1=0,
\vec{n}\cdot\vec{v}=(-2)\cdot 2 + (-3)\cdot(-1) + 1\cdot 1 = -4+3+1=0.
Como ambos dão zero, \vec{n} é realmente normal ao plano gerado por \vec{u} e \vec{v}.

Passo 5

Montar a equação do plano usando \vec{n} e o ponto P:
A condição é \vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{P})=0. Escrevendo \vec{x}=(x,y,z) e expandindo,
(-2)(x-1) + (-3)(y+1) + 1(z+2)=0.
Desenvolvendo os termos:
-2x+2 -3y-3 + z+2 = 0.
Somando os termos constantes:
-2x -3y + z + (2-3+2)= -2x -3y + z +1 = 0.

Passo 6

Comparar com as alternativas fornecidas: a equação encontrada é
-2x -3y + z +1 = 0,
que corresponde à alternativa (e).

Resposta

e. -2x-3y+z+1=0

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