Um veículo demora 15 segundos para ir de 0 a
, quando seu motor é solicitado a uma força constante de 2000 N . Considerando que este veículo possa ser modelado como um sistema de primeira ordem, e o tempo mencionado corresponde ao tempo para o veículo atingir
da velocidade final, determine a função de transferência do mesmo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a função de transferência do veículo (do esforço do motor para a velocidade):
- Força constante aplicada:
. - Tempo para ir de
até : . O enunciado diz que esse tempo corresponde a atingir da velocidade final. - Velocidade final desejada:
. - O veículo é modelado como um sistema de primeira ordem.
- O objetivo é obter a função de transferência que relaciona a entrada (força
) com a saída (velocidade ), isto é .
Informações numéricas importantes que vou usar (conversão para SI):
.
Passo 2
Modelo padrão de primeira ordem e interpretação das constantes.
Um sistema de primeira ordem linear, para entrada de força
e saída velocidade
, é tipicamente escrito no domínio do tempo como
onde:
-
é a constante de tempo (em segundos). Ela indica a rapidez da resposta: resposta mais rápida menor. -
é o ganho estático (unidade: por ). Ele diz qual será a velocidade em regime permanente para uma força constante: .
A função de transferência correspondente (do esforço
para a velocidade
) é
A resposta ao degrau de amplitude
é
Usaremos essa expressão para relacionar o tempo em que se alcança
ao valor de
.
Passo 3
Determinar
usando que em
chega-se a
do valor final.
Da resposta ao degrau,
Para
temos
. Então
Tomando logaritmo natural,
Calculemos numericamente:
Passo 4
Determinar o ganho estático
a partir do valor final.
Em regime permanente, com força constante
,
Temos
(conversão exata). Portanto
Ou seja,
.
Passo 5
Montar a função de transferência usando os valores encontrados.
A forma padrão é
Substituindo
e
, obtemos
Podemos também escrever em forma alternativa (normalizando o denominador):