Um veículo demora 15 segundos para ir de 0 a 100 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, quando seu motor é solicitado a uma força constante de 2000 N . Considerando que este veículo possa ser modelado como um sistema de primeira ordem, e o tempo mencionado corresponde ao tempo para o veículo atingir 98 \% da velocidade final, determine a função de transferência do mesmo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a função de transferência do veículo (do esforço do motor para a velocidade):
  • Força constante aplicada: F_0 = 2000\\ \mathrm{N}.
  • Tempo para ir de 0 até 100\\ \mathrm{km/h}: t_{98} = 15\\ \mathrm{s}. O enunciado diz que esse tempo corresponde a atingir 98\% da velocidade final.
  • Velocidade final desejada: v_{\text{final}} = 100\\ \mathrm{km/h}.
  • O veículo é modelado como um sistema de primeira ordem.
  • O objetivo é obter a função de transferência que relaciona a entrada (força F) com a saída (velocidade v), isto é G(s)=\dfrac{V(s)}{F(s)}.
Informações numéricas importantes que vou usar (conversão para SI): 100\\ \mathrm{km/h} = \dfrac{100\cdot 1000}{3600} = \dfrac{250}{9}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 2

Modelo padrão de primeira ordem e interpretação das constantes.
Um sistema de primeira ordem linear, para entrada de força F(t) e saída velocidade v(t), é tipicamente escrito no domínio do tempo como
\tau \frac{dv(t)}{dt} + v(t) = K\,F(t),
onde:
  • \tau é a constante de tempo (em segundos). Ela indica a rapidez da resposta: resposta mais rápida \Rightarrow \tau menor.
  • K é o ganho estático (unidade: \mathrm{m/s} por \mathrm{N}). Ele diz qual será a velocidade em regime permanente para uma força constante: v_{\infty}=K F_0.
A função de transferência correspondente (do esforço F para a velocidade v) é
G(s)=\frac{V(s)}{F(s)}=\frac{K}{\tau s + 1}.
A resposta ao degrau de amplitude F_0 é
v(t)=K F_0\left(1-e^{-t/\tau}\right).
Usaremos essa expressão para relacionar o tempo em que se alcança 98\% ao valor de \tau.

Passo 3

Determinar \tau usando que em t=15\\ \mathrm{s} chega-se a 98\% do valor final.
Da resposta ao degrau,
\frac{v(t)}{v_{\infty}}=1-e^{-t/\tau}.
Para t=t_{98}=15\\ \mathrm{s} temos \dfrac{v(15)}{v_{\infty}}=0{,}98. Então
1-e^{-15/\tau}=0{,}98 \quad\Rightarrow\quad e^{-15/\tau}=0{,}02.
Tomando logaritmo natural,
-\,\frac{15}{\tau}=\ln(0{,}02)\quad\Rightarrow\quad \tau=-\frac{15}{\ln(0{,}02)}.
Calculemos numericamente:
\ln(0{,}02)\approx -3{,}912023\quad\Rightarrow\quad \tau\approx\frac{15}{3{,}912023}\approx 3{,}835\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Determinar o ganho estático K a partir do valor final.
Em regime permanente, com força constante F_0,
v_{\infty}=K F_0.
Temos v_{\infty}=100\\ \mathrm{km/h}=\dfrac{250}{9}\\ \mathrm{m/s} (conversão exata). Portanto
K=\frac{v_{\infty}}{F_0}=\frac{\tfrac{250}{9}}{2000}=\frac{250}{9\cdot 2000}=\frac{250}{18000}=\frac{1}{72}.
Ou seja, K=\dfrac{1}{72}\\ \mathrm{(m/s)/N}\approx 0{,}0138889\\ \mathrm{m/(s\cdot N)}.

Passo 5

Montar a função de transferência usando os valores encontrados.
A forma padrão é
G(s)=\frac{K}{\tau s + 1}.
Substituindo K=\dfrac{1}{72} e \tau\approx 3{,}835\\ \mathrm{s}, obtemos
G(s)=\frac{\dfrac{1}{72}}{3{,}835\,s + 1}.
Podemos também escrever em forma alternativa (normalizando o denominador):
G(s)=\frac{1}{72}\cdot\frac{1}{3{,}835\,s + 1}=\frac{0{,}0138889}{3{,}835\,s + 1}.

Resposta

G(s)=\frac{\dfrac{1}{72}}{3{,}835\,s + 1}

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