Com que velocidade \mathrm{v}_{0} uma pedra deve ser lançada a um ângulo de 45^{\circ} acima da horizontal para apenas ultrapassar um muro de 15 m de altura a uma distância de 20 m ? Depois de quanto tempo ela ultrapassa o muro?

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado pede e os dados que temos.
  • Perguntas do enunciado:
    1. Com que velocidade \mathrm{v}_{0} a pedra deve ser lançada a um ângulo de \(45^\circ) acima da horizontal para apenas ultrapassar um muro de altura \(15\\ \mathrm{m}) situado a uma distância horizontal de \(20\\ \mathrm{m})?
    2. Depois de quanto tempo ela ultrapassa o muro?
  • Dados fornecidos:
    • ângulo de lançamento \(\theta=45^\circ);
    • altura do muro \(y_{\text{muro}}=15\\ \mathrm{m});
    • posição horizontal do muro \(x_{\text{muro}}=20\\ \mathrm{m}).
  • Convenção e suposições:
    • aceleração da gravidade \(g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}) para baixo;
    • lançamento a partir do nível do solo (altura inicial y_0=0);
    • “apenas ultrapassar” será interpretado como a trajetória tocando a altura do muro naquele ponto, ou seja \,y( x_{\text{muro}} ) = y_{\text{muro}}\,.

Passo 2

Fórmulas básicas do movimento de projéteis (cinemática sem resistência do ar).
  • Decompondo a velocidade inicial \mathrm{v}_0 em componentes horizontais e verticais:
    v_{0x} = \mathrm{v}_0\cos\theta,\qquad v_{0y} = \mathrm{v}_0\sin\theta.
    Aqui \mathrm{v}_0 é o módulo da velocidade inicial (o que queremos achar), \theta é o ângulo de lançamento.
  • Equações do movimento (origem no chão, y_0=0):
    x(t) = v_{0x}\,t = \mathrm{v}_0\cos\theta\; t,
y(t) = v_{0y}\,t - \tfrac{1}{2} g t^2 = \mathrm{v}_0\sin\theta\; t - \tfrac{1}{2} g t^2.
Aqui t é o tempo desde o lançamento, x(t) e y(t) são as posições horizontais e verticais.

Passo 3

Relacionar o tempo em que a pedra alcança a posição horizontal do muro com \mathrm{v}_0.
No instante em que a pedra está na frente do muro vale x(t)=x_{\text{muro}}=20\\ \mathrm{m}. Usando x(t)=\mathrm{v}_0\cos\theta\; t obtemos
t_{\text{muro}}=\frac{x_{\text{muro}}}{\mathrm{v}_0\cos\theta}.
Como \theta=45^\circ, sabemos os valores de \cos45^\circ e \sin45^\circ:
\cos45^\circ=\sin45^\circ=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Portanto
t_{\text{muro}}=\frac{20}{\mathrm{v}_0\cos45^\circ}=\frac{20}{\mathrm{v}_0\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{20\sqrt{2}}{\mathrm{v}_0}.

Passo 4

Impor a condição de que a altura no momento em que a pedra está em x=20 seja exatamente a altura do muro.
Queremos y(t_{\text{muro}})=y_{\text{muro}}=15\\ \mathrm{m}. Usando a fórmula de y(t):
15=\mathrm{v}_0\sin45^\circ\; t_{\text{muro}}-\tfrac{1}{2} g\,t_{\text{muro}}^{2}.
Substituindo \sin45^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{2}} e t_{\text{muro}}=\dfrac{20\sqrt{2}}{\mathrm{v}_0}:
Calcule o primeiro termo:
\mathrm{v}_0\sin45^\circ\; t_{\text{muro}}=\mathrm{v}_0\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{20\sqrt{2}}{\mathrm{v}_0}=20.
Repare que \mathrm{v}_0 e \sqrt{2} cancelam: isto é muito prático!
Calcule o segundo termo:
\tfrac{1}{2} g\,t_{\text{muro}}^{2}=\tfrac{1}{2}g\left(\frac{20\sqrt{2}}{\mathrm{v}_0}\right)^{2} =\tfrac{1}{2}g\cdot\frac{400\cdot 2}{\mathrm{v}_0^{2}} =\frac{400\,g}{\mathrm{v}_0^{2}}.
Substituindo esses resultados na equação 15=\dots obtemos
15 = 20 - \frac{400\,g}{\mathrm{v}_0^{2}}.

Passo 5

Resolver a equação para \mathrm{v}_0.
Rearranjando:
20-15=\frac{400\,g}{\mathrm{v}_0^{2}}\quad\Rightarrow\quad 5=\frac{400\,g}{\mathrm{v}_0^{2}}.
Isolando \mathrm{v}_0^{2}:
\mathrm{v}_0^{2}=\frac{400\,g}{5}=80\,g.
Substituindo g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}:
\mathrm{v}_0^{2}=80\cdot 9{,}8=784.
Logo
\mathrm{v}_0=\sqrt{784}=28\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Calcular o tempo em que a pedra ultrapassa o muro.
Usar t_{\text{muro}}=\dfrac{20\sqrt{2}}{\mathrm{v}_0} com \mathrm{v}_0=28\\ \mathrm{m/s}:
t_{\text{muro}}=\frac{20\sqrt{2}}{28}=\frac{5\sqrt{2}}{7}.
Valor numérico (aproximado):
t_{\text{muro}}\approx 1{,}01\\ \mathrm{s}.

Resposta

\mathrm{v}_0=28\\ \mathrm{m/s}
t=1{,}01\\ \mathrm{s}

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