Com que velocidade
uma pedra deve ser lançada a um ângulo de
acima da horizontal para apenas ultrapassar um muro de 15 m de altura a uma distância de 20 m ? Depois de quanto tempo ela ultrapassa o muro?
Passo 1
Vou escrever claramente o que o enunciado pede e os dados que temos.
-
Perguntas do enunciado:
- Com que velocidade
a pedra deve ser lançada a um ângulo de ) acima da horizontal para apenas ultrapassar um muro de altura ) situado a uma distância horizontal de )? - Depois de quanto tempo ela ultrapassa o muro?
- Com que velocidade
-
Dados fornecidos:
- ângulo de lançamento );
- altura do muro );
- posição horizontal do muro ).
-
Convenção e suposições:
- aceleração da gravidade ) para baixo;
- lançamento a partir do nível do solo (altura inicial
); - “apenas ultrapassar” será interpretado como a trajetória tocando a altura do muro naquele ponto, ou seja
.
Passo 2
Fórmulas básicas do movimento de projéteis (cinemática sem resistência do ar).
-
Decompondo a velocidade inicial
em componentes horizontais e verticais: Aquié o módulo da velocidade inicial (o que queremos achar), é o ângulo de lançamento. -
Equações do movimento (origem no chão,
):
Aqui
é o tempo desde o lançamento,
e
são as posições horizontais e verticais.
Passo 3
Relacionar o tempo em que a pedra alcança a posição horizontal do muro com
.
No instante em que a pedra está na frente do muro vale
. Usando
obtemos
Como
, sabemos os valores de
e
:
Portanto
Passo 4
Impor a condição de que a altura no momento em que a pedra está em
seja exatamente a altura do muro.
Queremos
. Usando a fórmula de
:
Substituindo
e
:
Calcule o primeiro termo:
Repare que
e
cancelam: isto é muito prático!
Calcule o segundo termo:
Substituindo esses resultados na equação
obtemos
Passo 5
Resolver a equação para
.
Rearranjando:
Isolando
:
Substituindo
:
Logo
Passo 6
Calcular o tempo em que a pedra ultrapassa o muro.
Usar
com
:
Valor numérico (aproximado):