A velocidade orbital do Sol em relação ao centro da Via Láctea é aproximadamente
. Determine a diferença percentual entre o valor relativístico e o valor newtoniano da energia cinética do Sol.
Passo 1
O enunciado nos dá a velocidade orbital do Sol em relação ao centro da Via Láctea:
O que é pedido: calcular a diferença percentual entre a energia cinética relativística e a energia cinética newtoniana do Sol, isto é calcular
Dados e conversões que vamos usar (peguei
como a velocidade da luz no vácuo):
Não é necessário conhecer a massa do Sol porque ela vai se cancelar nas razões entre energias.
Passo 2
Escrevendo as fórmulas das energias:
onde
Explicando passo a passo:
é a massa do Sol (que vai aparecer em ambas as energias),
é a velocidade do Sol,
é a velocidade da luz e
é o fator de Lorentz que mede efeitos relativísticos. A razão pedida é independente de
, então não precisamos do valor numérico da massa.
Passo 3
Como
é muito menor que
(isto é,
), podemos usar a expansão em séries de Taylor do fator de Lorentz:
Dessa expansão segue
Portanto a diferença
tem como primeiro termo não nulo
A razão entre essa diferença e
é então, cancelando
,
Isso é uma forma simples e segura de estimar a diferença percentual quando
.
Passo 4
Agora calculamos numericamente
:
Multiplicando por
obtemos a razão fracionária:
Convertendo para porcentagem (multiplicando por
):
Passo 5
Interpretação breve e ânimo: isso significa que o valor relativístico da energia cinética do Sol difere do valor newtoniano por uma fração extremamente pequena — da ordem de
% — portanto, para a velocidade orbital típica do Sol a aproximação newtoniana é virtualmente perfeita. Mas valeu a pena checar: agora sabe como fazer isso passo a passo na prova.