A velocidade orbital do Sol em relação ao centro da Via Láctea é aproximadamente 250 \mathrm{~km} / \mathrm{s}. Determine a diferença percentual entre o valor relativístico e o valor newtoniano da energia cinética do Sol.

Passo 1

O enunciado nos dá a velocidade orbital do Sol em relação ao centro da Via Láctea:
v = 250\\ \mathrm{km/s}.
O que é pedido: calcular a diferença percentual entre a energia cinética relativística e a energia cinética newtoniana do Sol, isto é calcular
\text{diferença percentual}=\frac{K_{\rm rel}-K_{\rm new}}{K_{\rm new}}\times100\%.ç
Dados e conversões que vamos usar (peguei c como a velocidade da luz no vácuo):
v=250\\ \mathrm{km/s}=250\,000\\ \mathrm{m/s},\qquad c=299\,792\,458\\ \mathrm{m/s}.
Não é necessário conhecer a massa do Sol porque ela vai se cancelar nas razões entre energias.

Passo 2

Escrevendo as fórmulas das energias:
K_{\rm new}=\tfrac{1}{2} m v^{2}, \qquad K_{\rm rel}=(\gamma-1)mc^{2},
onde
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}.
Explicando passo a passo: m é a massa do Sol (que vai aparecer em ambas as energias), v é a velocidade do Sol, c é a velocidade da luz e \gamma é o fator de Lorentz que mede efeitos relativísticos. A razão pedida é independente de m, então não precisamos do valor numérico da massa.

Passo 3

Como v é muito menor que c (isto é, v\ll c), podemos usar a expansão em séries de Taylor do fator de Lorentz:
\gamma = 1 + \tfrac{1}{2}\beta^{2} + \tfrac{3}{8}\beta^{4} + \cdots, \qquad \text{onde }\beta=\frac{v}{c}.
Dessa expansão segue
K_{\rm rel}=(\gamma-1)mc^{2}=\tfrac{1}{2}m v^{2}+\tfrac{3}{8}m\frac{v^{4}}{c^{2}}+\cdots.
Portanto a diferença K_{\rm rel}-K_{\rm new} tem como primeiro termo não nulo
\Delta K \approx \tfrac{3}{8}m\frac{v^{4}}{c^{2}}.
A razão entre essa diferença e K_{\rm new}=\tfrac{1}{2}m v^{2} é então, cancelando m,
\frac{K_{\rm rel}-K_{\rm new}}{K_{\rm new}} \approx \frac{\tfrac{3}{8}m\frac{v^{4}}{c^{2}}}{\tfrac{1}{2}m v^{2}} = \tfrac{3}{4}\frac{v^{2}}{c^{2}} =\tfrac{3}{4}\beta^{2}.
Isso é uma forma simples e segura de estimar a diferença percentual quando v\ll c.

Passo 4

Agora calculamos numericamente \beta^{2}:
\beta^{2}=\left(\frac{v}{c}\right)^{2} =\frac{(250\,000)^{2}}{(299\,792\,458)^{2}} \approx 6,957\times10^{-7}.
Multiplicando por \tfrac{3}{4} obtemos a razão fracionária:
\frac{K_{\rm rel}-K_{\rm new}}{K_{\rm new}} \approx \tfrac{3}{4}\beta^{2} \approx 0,75\times6,957\times10^{-7} \approx 5,218\times10^{-7}.
Convertendo para porcentagem (multiplicando por 100\%):
\text{diferença percentual}\approx 5,218\times10^{-5}\\ \%.ç

Passo 5

Interpretação breve e ânimo: isso significa que o valor relativístico da energia cinética do Sol difere do valor newtoniano por uma fração extremamente pequena — da ordem de 10^{-5}% — portanto, para a velocidade orbital típica do Sol a aproximação newtoniana é virtualmente perfeita. Mas valeu a pena checar: agora sabe como fazer isso passo a passo na prova.

Resposta

5,22\times10^{-5}\% (aproximadamente)

Exercícios relacionados