(a) Que velocidade tangencial um satélite da Terra deve ter para estar em órbita circular 160 km acima da superfície da Terra? (b) Qual é o período de revolução?
(obs: considere que a força gravitacional é igual a força centrípeta)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) a velocidade tangencial que um satélite deve ter para manter uma órbita circular a 160\\ \text{km} acima da superfície da Terra;
  • (b) o período de revolução dessa órbita.
Informações numéricas fornecidas (ou usuais) que vamos usar:
  • altitude do satélite: h = 160\\ \text{km} = 1,60\times10^{5}\\ \mathrm{m};
  • raio médio da Terra: R_{\oplus} = 6,37\times10^{6}\\ \mathrm{m} (valor padrão);
  • massa da Terra: M = 5,97\times10^{24}\\ \mathrm{kg} (valor padrão);
  • constante gravitacional: G = 6,67\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}}.
A órbita circular terá raio (do centro da Terra ao satélite)
r = R_{\oplus} + h.
O enunciado diz para considerar que a força gravitacional é igual à força centrípeta: essa é a condição que usaremos para encontrar a velocidade.

Passo 2

Entender as forças e montar a equação fundamental (explicação didática).
  • A força gravitacional que atrai o satélite em direção ao centro da Terra tem módulo dado pela Lei da Gravitação Universal de Newton:
F_{\text{grav}} = \dfrac{G M m}{r^{2}},
onde:
  • G é a constante gravitacional;
  • M é a massa da Terra;
  • m é a massa do satélite (vai cancelar);
  • r é a distância do centro da Terra ao satélite.
  • Para que o satélite descreva uma órbita circular com velocidade tangencial v, a resultante centrípeta necessária é
F_{\text{cent}} = \dfrac{m v^{2}}{r},
onde:
  • m é a massa do satélite;
  • v é a velocidade tangencial;
  • r é o mesmo raio da órbita.
A condição do enunciado é F_{\text{grav}} = F_{\text{cent}}. Essa igualdade garante que a atração gravitacional fornece exatamente a força centrípeta necessária para a órbita circular.

Passo 3

Resolver a equação F_{\text{grav}} = F_{\text{cent}} para a velocidade v.
Escrevendo a igualdade:
\dfrac{G M m}{r^{2}} = \dfrac{m v^{2}}{r}.
Podemos cancelar m dos dois lados (a massa do satélite não entra na velocidade de órbita circular):
\dfrac{G M}{r^{2}} = \dfrac{v^{2}}{r}.
Multiplicando ambos os lados por r e isolando v:
v^{2} = \dfrac{G M}{r} \qquad\Rightarrow\qquad v = \sqrt{\dfrac{G M}{r}}.
Aqui:
  • v é a velocidade tangencial desejada;
  • G M às vezes é chamado de parâmetro gravitacional da Terra ( \mu = G M);
  • r é o raio da órbita.

Passo 4

Calcular numericamente o raio da órbita r e o parâmetro \mu = G M.
Raio da órbita:
r = R_{\oplus} + h = 6,37\times10^{6}\\ \mathrm{m} + 1,60\times10^{5}\\ \mathrm{m} = 6,531\times10^{6}\\ \mathrm{m}.
Parâmetro gravitacional aproximado:
\mu = G M \approx 6,67\times10^{-11}\times5,97\times10^{24} \approx 3,986\times10^{14}\\ \mathrm{m^{3}\,s^{-2}}.

Passo 5

Calcular a velocidade v usando os valores numéricos.
Substituindo em v = \sqrt{\dfrac{\mu}{r}}:
v = \sqrt{\dfrac{3,986\times10^{14}}{6,531\times10^{6}}} = \sqrt{6,103\times10^{7}} \approx 7815\\ \mathrm{m/s}.
Explicação prática: o valor obtido, cerca de 7{,}8\\ \text{km/s}, é típico de órbitas baixas da Terra (LEO). Ou seja, o satélite precisa se deslocar muito rápido para “cair continuamente” ao redor da Terra sem se chocar com ela.

Passo 6

Calcular o período de revolução T.
Para uma órbita circular a velocidade constante v, o período T (tempo para dar uma volta completa) é dado por:
T = \dfrac{\text{comprimento da órbita}}{v} = \dfrac{2\pi r}{v}.ó
Substituindo os valores:
T = \dfrac{2\pi \cdot 6,531\times10^{6}}{7815}\\ \mathrm{s} \approx 5250\\ \mathrm{s}.
Converter para minutos:
5250\\ \mathrm{s} = \dfrac{5250}{60}\\ \mathrm{min} \approx 87{,}5\\ \mathrm{min}.
Em horas isso é aproximadamente 1{,}46\\ \mathrm{h} (ou 1 hora e 27,5 minutos).

Passo 7

Resumo e interpretação final (motivacional curto).
  • A velocidade obtida garante que a atração gravitacional seja exatamente a força centrípeta para manter a órbita circular a 160\\ \text{km} de altitude.
  • O período de cerca de 87{,}5 minutos significa que um satélite em órbita baixa completa aproximadamente 16 a 17 voltas por dia.
  • Dá para decorar: órbitas baixas da Terra têm velocidade da ordem de 7{,}5 8{,}0\\ \text{km/s} e período em torno de 90 minutos. Isso ajuda a checar resultados rápido na prova.

Resposta

v \approx 7815\\ \mathrm{m/s}
T \approx 5250\\ \mathrm{s} \approx 87{,}5\\ \mathrm{min}

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