(a) Que velocidade tangencial um satélite da Terra deve ter para estar em órbita circular 160 km acima da superfície da Terra? (b) Qual é o período de revolução?
(obs: considere que a força gravitacional é igual a força centrípeta)
(obs: considere que a força gravitacional é igual a força centrípeta)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) a velocidade tangencial que um satélite deve ter para manter uma órbita circular a
acima da superfície da Terra; - (b) o período de revolução dessa órbita.
Informações numéricas fornecidas (ou usuais) que vamos usar:
- altitude do satélite:
; - raio médio da Terra:
(valor padrão); - massa da Terra:
(valor padrão); - constante gravitacional:
.
A órbita circular terá raio (do centro da Terra ao satélite)
O enunciado diz para considerar que a força gravitacional é igual à força centrípeta: essa é a condição que usaremos para encontrar a velocidade.
Passo 2
Entender as forças e montar a equação fundamental (explicação didática).
- A força gravitacional que atrai o satélite em direção ao centro da Terra tem módulo dado pela Lei da Gravitação Universal de Newton:
onde:
-
é a constante gravitacional; -
é a massa da Terra; -
é a massa do satélite (vai cancelar); -
é a distância do centro da Terra ao satélite. -
Para que o satélite descreva uma órbita circular com velocidade tangencial
, a resultante centrípeta necessária é
onde:
-
é a massa do satélite; -
é a velocidade tangencial; -
é o mesmo raio da órbita.
A condição do enunciado é
. Essa igualdade garante que a atração gravitacional fornece exatamente a força centrípeta necessária para a órbita circular.
Passo 3
Resolver a equação
para a velocidade
.
Escrevendo a igualdade:
Podemos cancelar
dos dois lados (a massa do satélite não entra na velocidade de órbita circular):
Multiplicando ambos os lados por
e isolando
:
Aqui:
-
é a velocidade tangencial desejada; -
às vezes é chamado de parâmetro gravitacional da Terra ( ); -
é o raio da órbita.
Passo 4
Calcular numericamente o raio da órbita
e o parâmetro
.
Raio da órbita:
Parâmetro gravitacional aproximado:
Passo 5
Calcular a velocidade
usando os valores numéricos.
Substituindo em
:
Explicação prática: o valor obtido, cerca de
, é típico de órbitas baixas da Terra (LEO). Ou seja, o satélite precisa se deslocar muito rápido para “cair continuamente” ao redor da Terra sem se chocar com ela.
Passo 6
Calcular o período de revolução
.
Para uma órbita circular a velocidade constante
, o período
(tempo para dar uma volta completa) é dado por:
Substituindo os valores:
Converter para minutos:
Em horas isso é aproximadamente
(ou 1 hora e 27,5 minutos).
Passo 7
Resumo e interpretação final (motivacional curto).
- A velocidade obtida garante que a atração gravitacional seja exatamente a força centrípeta para manter a órbita circular a
de altitude. - O período de cerca de
minutos significa que um satélite em órbita baixa completa aproximadamente 16 a 17 voltas por dia. - Dá para decorar: órbitas baixas da Terra têm velocidade da ordem de
– e período em torno de minutos. Isso ajuda a checar resultados rápido na prova.