Verificar se são coplanares os seguintes pontos
\mathrm{A}=(2,1,3), \mathrm{B}=(3,2,4), \mathrm{C}=(-1,-1,-1) e \mathrm{D}=(0,1,-1)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os quatro pontos são coplanares. Os dados do problema (peguei direto do enunciado) são:
A=(2,1,3), B=(3,2,4), C=(-1,-1,-1) e D=(0,1,-1).
A pergunta que vamos responder é única e clara: “Os pontos A,B,C,D são coplanares?”

Passo 2

O que significa “serem coplanares” e como testar isso na prática?
  • Quatro pontos A,B,C,D são coplanares quando existem três pontos entre eles que definem um plano e o quarto ponto pertence a esse mesmo plano.
  • Uma forma vetorial prática: calcule os vetores \vec{AB}, \vec{AC} e \vec{AD}. Se esses três vetores forem linearmente dependentes (isto é, um deles é combinação linear dos outros dois), então os quatro pontos estão no mesmo plano.
  • Um teste rápido e muito usado é o produto misto (ou produto escalar do produto vetorial): \vec{AB}\cdot(\vec{AC}\times\vec{AD}). Esse produto misto é numericamente igual ao determinante formado pelas componentes dos três vetores. Se esse valor for zero, os vetores são coplanares e, portanto, os quatro pontos são coplanares.
  • Intuição: \vec{AC}\times\vec{AD} dá um vetor perpendicular ao plano gerado por \vec{AC} e \vec{AD}. Se \vec{AB} é ortogonal a esse vetor (produto escalar zero), então \vec{AB} está no mesmo plano.

Passo 3

Calcular os vetores \vec{AB}, \vec{AC} e \vec{AD} por subtração coordenada a coordenada:
\vec{AB}=B-A=(3-2,\;2-1,\;4-3)=(1,1,1).
\vec{AC}=C-A=(-1-2,\;-1-1,\;-1-3)=(-3,-2,-4).
\vec{AD}=D-A=(0-2,\;1-1,\;-1-3)=(-2,0,-4).

Passo 4

Vou calcular primeiro o produto vetorial \vec{AC}\times\vec{AD}. Uso a fórmula por determinante com as componentes:
\vec{AC}\times\vec{AD}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -3 & -2 & -4 \\\\ -2 & 0 & -4 \end{vmatrix}.
Desenvolvendo componente a componente:
  • componente \mathbf{i}: (-2)(-4)-(-4)(0)=8-0=8,
  • componente \mathbf{j}: -\big((-3)(-4)-(-4)(-2)\big)=-\big(12-8\big)=-4,
  • componente \mathbf{k}: (-3)(0)-(-2)(-2)=0-4=-4.
Portanto
\vec{AC}\times\vec{AD}=(8,-4,-4).

Passo 5

Agora faço o produto escalar \vec{AB}\cdot(\vec{AC}\times\vec{AD}). Como \vec{AB}=(1,1,1) e \vec{AC}\times\vec{AD}=(8,-4,-4), temos
\vec{AB}\cdot(\vec{AC}\times\vec{AD})=1\cdot 8 + 1\cdot(-4) + 1\cdot(-4)=8-4-4=0.

Passo 6

Interpretação do resultado: o produto misto deu zero. Pelo critério discutido no Passo 2, isso significa que os vetores \vec{AB}, \vec{AC} e \vec{AD} são linearmente dependentes, logo os quatro pontos A,B,C,D estão no mesmo plano.

Passo 7

Comentário extra e maneira alternativa (curta): poderíamos também montar o determinante 3×3 com as linhas sendo as componentes de \vec{AB},\vec{AC},\vec{AD} e verificar que esse determinante é zero — dá exatamente o mesmo cálculo do produto misto feito acima.

Resposta

Sim — os pontos A,B,C,D são coplanares.

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