Verificar se são coplanares os seguintes vetores \boldsymbol{u}=(3,-1,2), \boldsymbol{v}=(1,0,3) e \boldsymbol{w}=(-2,1,1)
Passo 1
O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3 e pede para verificar se eles são coplanares. Os dados são: \boldsymbol{u}=(3,-1,2), \boldsymbol{v}=(1,0,3) e \boldsymbol{w}=(-2,1,1).
A pergunta é: “Esses três vetores estão todos no mesmo plano (são coplanares)?”
Passo 2
Explicando a ideia que vamos usar (passo-a-passo e sem pular etapas).
Intuição geométrica: três vetores em \mathbb{R}^3 são coplanares se o paralelogramo/paralelepípedo que eles formam tem volume zero — isto é, não formam um sólido de volume positivo.
Teste prático e fórmula: o volume orientado do paralelepípedo formado por \boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w} é dado pelo produto misto (produto escalar do primeiro com o produto vetorial dos outros dois)
Se esse produto for igual a 0, o volume é zero e os vetores são coplanares.
Alternativa equivalente (explicação): esse produto misto também é igual ao determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as componentes dos vetores:
Notação: se \boldsymbol{u}=(u_1,u_2,u_3), \boldsymbol{v}=(v_1,v_2,v_3), \boldsymbol{w}=(w_1,w_2,w_3), então \boldsymbol{v}\times\boldsymbol{w}=(\;v_2w_3-v_3w_2,\;v_3w_1-v_1w_3,\;v_1w_2-v_2w_1\;). Esse é o modo padrão de calcular o produto vetorial coordenada a coordenada.]
Passo 3
Calcular \boldsymbol{v}\times\boldsymbol{w} explicitamente (uso a fórmula dos menores):
Como o produto misto vale 0, o volume orientado do paralelepípedo é zero, o que indica que os três vetores são coplanares.
Passo 5
Verificação alternativa (método mais direto e elementar): tentar escrever \boldsymbol{w}\) como combinação linear de \(\boldsymbol{u}\) e \(\boldsymbol{v}\). Procuramos escalares \(a\) e \(b\) tais que
\[a\boldsymbol{u}+b\boldsymbol{v}=\boldsymbol{w}.
Escrevendo por componentes:
\begin{cases} 3a + b = -2,\\[4pt] - a + 0\cdot b = 1,\\[4pt] 2a + 3b = 1. \end{cases}
Da segunda equação vem imediatamente -a = 1 \Rightarrow a=-1\].
Substituindo \(a=-1 na primeira:
3(-1)+b=-2 \Rightarrow -3+b=-2 \Rightarrow b=1.
Verificando na terceira:
2(-1)+3(1) = -2+3=1,
que coincide com a componente 3 de \boldsymbol{w}. Logo \boldsymbol{w}=-1\boldsymbol{u}+1\boldsymbol{v}, ou seja, \boldsymbol{w} é combinação linear de \boldsymbol{u} e \boldsymbol{v}. Isso mostra que os três vetores são linearmente dependentes e, portanto, coplanares (mesma conclusão do produto misto).]