Verificar se as séries \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} a_{n}, com as a_{n} dadas abaixo, são divergentes, condicionalmente convergentes ou absolutamente convergentes. (Observe que neste exercício não é possível aplicar o Critério da série alternada). Sugestão: pense na sequência das reduzidas.
a_{2 n-1}=\frac{1}{\sqrt{n+1}-1} е a_{2 n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+1}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}a_{n},
com
a_{2n-1}=\frac{1}{\sqrt{n+1}-1} \quad\text{e}\quad a_{2n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+1},
e pede para decidir se ela é divergente, condicionalmente convergente ou absolutamente convergente. Não podemos usar diretamente o Critério de Leibniz (série alternada monótona), então vamos agrupar termos em pares.

Passo 2

Agrupando cada par de termos consecutivos, temos o bloco
(-1)^{2n-1+1}a_{2n-1}+(-1)^{2n+1}a_{2n}.
Como (-1)^{2n}=1 e (-1)^{2n+1}=-1, esse bloco vale
a_{2n-1}-a_{2n} =\frac{1}{\sqrt{n+1}-1}-\frac{1}{\sqrt{n+1}+1}.

Passo 3

Simplificamos a diferença:
\frac{1}{\sqrt{n+1}-1}-\frac{1}{\sqrt{n+1}+1} =\frac{(\sqrt{n+1}+1)-(\sqrt{n+1}-1)}{(\sqrt{n+1}-1)(\sqrt{n+1}+1)} =\frac{2}{(n+1)-1} =\frac{2}{n}.

Passo 4

Logo, o somatório dos 2N primeiros termos é
S_{2N} =\sum_{k=1}^{N}\bigl(a_{2k-1}-a_{2k}\bigr) =\sum_{k=1}^{N}\frac{2}{k} =2\sum_{k=1}^{N}\frac{1}{k}.
Como a série harmônica \sum_{k=1}^{\infty}\tfrac{1}{k} diverge, S_{2N}\to\infty. Portanto a série original diverge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}a_{n} é divergente.

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