Verificar se:
os vetores \vec{u}=2 \vec{i}+\vec{j}-\vec{k}, \vec{v}=-4 \vec{i}-2 \vec{j}+2 \vec{k} e \vec{w}=\vec{i}+\vec{j}-\vec{k} determinam os lados de um poliedro em \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores \vec{u}=2\vec{i}+\vec{j}-\vec{k}, \vec{v}=-4\vec{i}-2\vec{j}+2\vec{k} e \vec{w}=\vec{i}+\vec{j}-\vec{k} determinam os lados de um poliedro em \mathbb{R}^{3}.
Dados fornecidos:
  • \vec{u}= (2,\,1,\,-1),
  • \vec{v}= (-4,\,-2,\,2),
  • \vec{w}= (1,\,1,\,-1).

Passo 2

O que significa "determinam os lados de um poliedro em \mathbb{R}^{3}" (modo prático para prova)?
  • Para formar os três arestas que saem de um vértice e determinarem um poliedro tridimensional (por exemplo, as arestas de um paralelepípedo), as três direções devem ser linearmente independentes em \mathbb{R}^{3}.
  • Linearmente independentes aqui quer dizer que não existe uma combinação linear não trivial a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}=\vec{0} com (a,b,c)\neq(0,0,0).
  • Um teste prático e rápido para isso é o produto misto (produto escalar do primeiro com o produto vetorial dos outros dois): \det[\vec{u}\,\vec{v}\,\vec{w}]=\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}). Se esse valor for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes; se for zero, são linearmente dependentes.
    Explicando as notações: em \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}), \vec{v}\times\vec{w} é um vetor perpendicular tanto a \vec{v} quanto a \vec{w}, e o ponto \cdot indica o produto escalar entre \vec{u} e esse vetor.

Passo 3

Primeiro cheque rápido: verificar se algum vetor é múltiplo escalar de outro (isso é o jeito mais rápido na prova). Calcular -2\vec{u}:
-2\vec{u} = -2(2,\,1,\,-1) = (-4,\,-2,\,2).
Observa-se que
\vec{v}=(-4,\,-2,\,2) = -2\vec{u}.
Conclusão imediata: \vec{v} é múltiplo escalar de \vec{u}, logo \vec{u} e \vec{v} são colineares e, portanto, linearmente dependentes. Assim já sabemos que as três direções não podem ser todas independentes; isso sugere que eles não podem determinar arestas em três direções distintas em \mathbb{R}^3.

Passo 4

Para confirmar com a forma algébrica padrão (útil na prova), calculamos o produto misto \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}). Primeiro o produto vetorial \vec{v}\times\vec{w}. Usando \vec{v}=(-4,-2,2) e \vec{w}=(1,1,-1):
\vec{v}\times\vec{w} = \bigl(v_2w_3-v_3w_2,\; v_3w_1-v_1w_3,\; v_1w_2-v_2w_1\bigr).
Substituindo os valores:
\vec{v}\times\vec{w} = \bigl{(}(-2)(-1)-2\cdot1,\; 2\cdot1-(-4)(-1),\; (-4)\cdot1-(-2)\cdot1\bigr{)}.
Calculando componente a componente:
\vec{v}\times\vec{w} = (2-2,\;2-4,\;-4+2) = (0,\,-2,\,-2).
Agora o produto escalar com \vec{u}=(2,1,-1):
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) = (2,\,1,\,-1)\cdot(0,\,-2,\,-2) = 2\cdot0 + 1\cdot(-2) + (-1)\cdot(-2).
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) = 0 -2 +2 = 0.
Portanto o produto misto (determinante) é zero.

Passo 5

Interpretação final e resposta didática para a prova:
  • Como \vec{v}=-2\vec{u}, os vetores \vec{u} e \vec{v} são colineares; isso já basta para concluir dependência linear.
  • O produto misto confirma isso pois \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=0, logo \det[\vec{u}\,\vec{v}\,\vec{w}]=0.
  • Consequência prática: não existem três direções independentes; portanto esses vetores não podem determinar as três arestas que gerariam um poliedro tridimensional (por exemplo, um paralelepípedo de volume não nulo) em \mathbb{R}^{3}. Eles podem, no máximo, determinar arestas de uma figura plana (por exemplo, \vec{u} e \vec{w} são independentes e geram um plano), mas não um poliedro 3D.
Dica rápida para a prova: sempre verifique primeiro se algum vetor é múltiplo de outro — é a forma mais rápida de detectar dependência.

Resposta

Não.

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