Verificar se:
os vetores
e
determinam os lados de um poliedro em
.
os vetores
Passo 1
O enunciado pede para verificar se os vetores
,
e
determinam os lados de um poliedro em
.
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
-
, -
, -
.
Passo 2
O que significa "determinam os lados de um poliedro em
" (modo prático para prova)?
- Para formar os três arestas que saem de um vértice e determinarem um poliedro tridimensional (por exemplo, as arestas de um paralelepípedo), as três direções devem ser linearmente independentes em
. - Linearmente independentes aqui quer dizer que não existe uma combinação linear não trivial
com . - Um teste prático e rápido para isso é o produto misto (produto escalar do primeiro com o produto vetorial dos outros dois):
. Se esse valor for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes; se for zero, são linearmente dependentes.
Explicando as notações: em, é um vetor perpendicular tanto a quanto a , e o ponto indica o produto escalar entre e esse vetor.
Passo 3
Primeiro cheque rápido: verificar se algum vetor é múltiplo escalar de outro (isso é o jeito mais rápido na prova). Calcular
:
Observa-se que
Conclusão imediata:
é múltiplo escalar de
, logo
e
são colineares e, portanto, linearmente dependentes. Assim já sabemos que as três direções não podem ser todas independentes; isso sugere que eles não podem determinar arestas em três direções distintas em
.
Passo 4
Para confirmar com a forma algébrica padrão (útil na prova), calculamos o produto misto
. Primeiro o produto vetorial
. Usando
e
:
Substituindo os valores:
Calculando componente a componente:
Agora o produto escalar com
:
Portanto o produto misto (determinante) é zero.
Passo 5
Interpretação final e resposta didática para a prova:
- Como
, os vetores e são colineares; isso já basta para concluir dependência linear. - O produto misto confirma isso pois
, logo . - Consequência prática: não existem três direções independentes; portanto esses vetores não podem determinar as três arestas que gerariam um poliedro tridimensional (por exemplo, um paralelepípedo de volume não nulo) em
. Eles podem, no máximo, determinar arestas de uma figura plana (por exemplo, e são independentes e geram um plano), mas não um poliedro 3D.
Dica rápida para a prova: sempre verifique primeiro se algum vetor é múltiplo de outro — é a forma mais rápida de detectar dependência.
Resposta
Não.