Verificar se:
os vetores \vec{u}=(0,1,-1,1), \vec{v}=(2,0,3,0) e \vec{w}=(0,-3,0,1) de \mathbb{R}^{4} são linearmentes independentes.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores \vec{u}=(0,1,-1,1), \vec{v}=(2,0,3,0) e \vec{w}=(0,-3,0,1) de \mathbb{R}^{4} são linearmente independentes.
Informações dadas:
  • \vec{u}=(0,1,-1,1).
  • \vec{v}=(2,0,3,0).
  • \vec{w}=(0,-3,0,1).

Passo 2

Definição útil (explicada de forma simples): os vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} são linearmente independentes quando a única solução do sistema
a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}=\vec{0}
é a=b=c=0. Se existir alguma solução não trivial (alguma das constantes diferente de zero) que satisfaça essa igualdade, então são linearmente dependentes. Vou usar exatamente essa definição e resolver o sistema de equações lineares que aparece ao escrever a combinação componente a componente.

Passo 3

Escrevendo a combinação linear e igualando componente a componente:
a(0,1,-1,1)+b(2,0,3,0)+c(0,-3,0,1)=(0,0,0,0).
Isso gera o sistema de quatro equações em a,b,c:
\begin{cases} 0a + 2b + 0c = 0,\\[4pt] 1a + 0b -3c = 0,\\[4pt] -1a + 3b + 0c = 0,\\[4pt] 1a + 0b + 1c = 0. \end{cases}]

Passo 4

Resolver passo a passo as equações (sem pular etapas):
  • Da primeira equação 0a + 2b + 0c = 0 segue imediatamente
2b=0 \quad\Rightarrow\quad b=0.
  • Substituindo b=0 na terceira equação -a + 3b + 0c = 0 obtemos
-a + 3\cdot 0 = 0 \quad\Rightarrow\quad -a=0 \quad\Rightarrow\quad a=0.
  • Com a=0 usamos a segunda equação a - 3c = 0:
0 - 3c = 0 \quad\Rightarrow\quad -3c=0 \quad\Rightarrow\quad c=0.
  • Verificação rápida: a quarta equação a + c = 0 fica 0+0=0, que é satisfeita.
Portanto a única solução do sistema é a=b=c=0.

Passo 5

Interpretação final (didática e curta): como a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial a=b=c=0, pelos conceitos de álgebra linear os vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} são linearmente independentes. Um comentário extra para fixar: ter três vetores em \mathbb{R}^4 permite que eles sejam independentes (não há obrigação de dependência como aconteceria se houvesse mais de quatro vetores em \mathbb{R}^4).

Resposta

Os vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} são linearmente independentes.

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