Verificar se:
os vetores \vec{u}=(0,1,-1,1), \vec{v}=(2,0,3,0) e \vec{w}=(0,-3,0,1) de \mathbb{R}^{4} são linearmentes independentes.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se os vetores \vec{u}=(0,1,-1,1), \vec{v}=(2,0,3,0) e \vec{w}=(0,-3,0,1) de \mathbb{R}^{4} são linearmente independentes.
Informações dadas:
\vec{u}=(0,1,-1,1).
\vec{v}=(2,0,3,0).
\vec{w}=(0,-3,0,1).
Passo 2
Definição útil (explicada de forma simples): os vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} são linearmente independentes quando a única solução do sistema
a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}=\vec{0}
é a=b=c=0. Se existir alguma solução não trivial (alguma das constantes diferente de zero) que satisfaça essa igualdade, então são linearmente dependentes. Vou usar exatamente essa definição e resolver o sistema de equações lineares que aparece ao escrever a combinação componente a componente.
Passo 3
Escrevendo a combinação linear e igualando componente a componente:
Verificação rápida: a quarta equação a + c = 0 fica 0+0=0, que é satisfeita.
Portanto a única solução do sistema é a=b=c=0.
Passo 5
Interpretação final (didática e curta): como a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial a=b=c=0, pelos conceitos de álgebra linear os vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} são linearmente independentes. Um comentário extra para fixar: ter três vetores em \mathbb{R}^4 permite que eles sejam independentes (não há obrigação de dependência como aconteceria se houvesse mais de quatro vetores em \mathbb{R}^4).
Resposta
Os vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} são linearmente independentes.