Verificar se:
os vetores \vec{u}=(1,0,-1), \vec{v}=(0,-1,0) e \vec{w}=(-2,-2,2) são linearmente independentes.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3 e pede para verificar se são linearmente independentes. As informações fornecidas são:
  • \vec{u}=(1,0,-1).
  • \vec{v}=(0,-1,0).
  • \vec{w}=(-2,-2,2).
O que se pede: verificar se os vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} são linearmente independentes (ou seja, decidir se existe ou não uma combinação linear não trivial que resulte no vetor nulo).

Passo 2

Definição e método que vamos usar (explicação didática):
  • Três vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} são linearmente independentes se, na equação
a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}=\vec{0},
a única solução para os escalares a,b,c for a=b=c=0. Caso exista alguma solução com pelo menos um coeficiente diferente de zero, os vetores são linearmente dependentes.
  • Em \mathbb{R}^3 com três vetores, uma forma prática é montar a matriz cujas colunas são esses vetores e calcular o determinante: se o determinante for diferente de zero, as colunas são linearmente independentes; se o determinante for zero, são linearmente dependentes. Vou usar esse método (porque é direto aqui) e, em seguida, encontrar explicitamente a relação linear não trivial quando o determinante for zero — isso ajuda a entender de verdade o que significa dependência linear.

Passo 3

Montar a matriz A cujas colunas são \vec{u},\vec{v},\vec{w}:
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2\\[4pt] 0 & -1 & -2\\[4pt] -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular o determinante de A. Para uma matriz
\begin{pmatrix} a & b & c\\[4pt] d & e & f\\[4pt] g & h & i \end{pmatrix}
vale a fórmula
\det = a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg).
Aplicando com a=1, b=0, c=-2, d=0, e=-1, f=-2, g=-1, h=0, i=2, obtemos:
\det(A)=1\big((-1)\cdot 2 - (-2)\cdot 0\big) - 0\big(0\cdot 2 - (-2)\cdot(-1)\big) + (-2)\big(0\cdot 0 - (-1)\cdot(-1)\big).
Calcule passo a passo:
1\big((-1)\cdot 2 - (-2)\cdot 0\big)=1(-2-0)=-2,
- 0\big(\cdots\big)=0,
(-2)\big(0 - 1\big)=(-2)(-1)=2.
Somando:
\det(A)=-2+0+2=0.]

Passo 5

Interpretação do resultado do determinante:
  • Como \det(A)=0, as colunas da matriz A (isto é, \vec{u},\vec{v},\vec{w}) são linearmente dependentes. Em outras palavras, existe uma combinação linear não trivial a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}=\vec{0} com algum coeficiente diferente de zero.

Passo 6

Encontrar explicitamente a relação linear não trivial (para fixar o conceito). Escrevemos
a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}=\vec{0}
e equilibramos coordenada a coordenada:
  • coordenada x: a + 0\cdot b -2c = 0, ou seja \;a-2c=0.
  • coordenada y: 0\cdot a - b -2c = 0, ou seja \;-b-2c=0.
  • coordenada z: -a + 0\cdot b +2c = 0, ou seja \;-a+2c=0.
Das duas primeiras equações obtemos a=2c e b=-2c. A terceira dá a mesma relação a=2c, então há consistência e temos um parâmetro livre c. Tomando c=1 (escolha conveniente), obtemos a=2 e b=-2. Logo:
2\vec{u}-2\vec{v}+\vec{w}=\vec{0}.
Rearranjando,
\vec{w}=-2\vec{u}+2\vec{v},
ou seja, \vec{w} é combinação linear de \vec{u} e \vec{v}. Isso confirma explicitamente a dependência linear.

Passo 7

Conclusão final: os vetores não são independentes; existe uma relação linear não trivial entre eles (por exemplo \vec{w}=-2\vec{u}+2\vec{v}). Força — já era de se esperar que havia uma dependência porque o determinante deu zero, e agora temos a relação explícita para usar na prova.

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes.

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