Verificar se:
os vetores \vec{u}=(1,0,-1), \vec{v}=(0,-1,0) e \vec{w}=(-2,-2,2) são linearmente independentes.
Passo 1
O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3 e pede para verificar se são linearmente independentes. As informações fornecidas são:
\vec{u}=(1,0,-1).
\vec{v}=(0,-1,0).
\vec{w}=(-2,-2,2).
O que se pede: verificar se os vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} são linearmente independentes (ou seja, decidir se existe ou não uma combinação linear não trivial que resulte no vetor nulo).
Passo 2
Definição e método que vamos usar (explicação didática):
Três vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} são linearmente independentes se, na equação
a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}=\vec{0},
a única solução para os escalares a,b,c for a=b=c=0. Caso exista alguma solução com pelo menos um coeficiente diferente de zero, os vetores são linearmente dependentes.
Em \mathbb{R}^3 com três vetores, uma forma prática é montar a matriz cujas colunas são esses vetores e calcular o determinante: se o determinante for diferente de zero, as colunas são linearmente independentes; se o determinante for zero, são linearmente dependentes. Vou usar esse método (porque é direto aqui) e, em seguida, encontrar explicitamente a relação linear não trivial quando o determinante for zero — isso ajuda a entender de verdade o que significa dependência linear.
Passo 3
Montar a matriz A cujas colunas são \vec{u},\vec{v},\vec{w}:
Como \det(A)=0, as colunas da matriz A (isto é, \vec{u},\vec{v},\vec{w}) são linearmente dependentes. Em outras palavras, existe uma combinação linear não trivial a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}=\vec{0} com algum coeficiente diferente de zero.
Passo 6
Encontrar explicitamente a relação linear não trivial (para fixar o conceito). Escrevemos
a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}=\vec{0}
e equilibramos coordenada a coordenada:
coordenada x: a + 0\cdot b -2c = 0, ou seja \;a-2c=0.
coordenada y: 0\cdot a - b -2c = 0, ou seja \;-b-2c=0.
coordenada z: -a + 0\cdot b +2c = 0, ou seja \;-a+2c=0.
Das duas primeiras equações obtemos a=2c e b=-2c. A terceira dá a mesma relação a=2c, então há consistência e temos um parâmetro livre c. Tomando c=1 (escolha conveniente), obtemos a=2 e b=-2. Logo:
2\vec{u}-2\vec{v}+\vec{w}=\vec{0}.
Rearranjando,
\vec{w}=-2\vec{u}+2\vec{v},
ou seja, \vec{w} é combinação linear de \vec{u} e \vec{v}. Isso confirma explicitamente a dependência linear.
Passo 7
Conclusão final: os vetores não são independentes; existe uma relação linear não trivial entre eles (por exemplo \vec{w}=-2\vec{u}+2\vec{v}). Força — já era de se esperar que havia uma dependência porque o determinante deu zero, e agora temos a relação explícita para usar na prova.