Verifique em cada item se a série converge ou diverge; caso seja convergente, verifique se é absolutamente convergente (AC) ou condicionalmente convergente (CC).
Passo 1
O enunciado pede para verificar, no caso da série
se ela converge ou diverge; e, se converge, determinar se é absolutamente convergente (AC) ou condicionalmente convergente (CC).
Informações dadas que vamos usar:
- O termo geral é
. - O sinal alterna por causa de
. - O módulo do termo é
, que é positivo para todo .
Passo 2
Verificar as condições do Critério de Leibniz (série alternante): para a série alternante
convergir, basta que (i)
seja uma sequência monótona não crescente a partir de algum
e (ii)
. Aqui tomamos
Primeiro, calculemos o limite de
. Para grandes
a razão
comporta-se como
, então espera-se que vá para
. Formalmente:
pois o denominador cresce de ordem
enquanto o numerador cresce de ordem
.
Passo 3
Agora verificamos a monotonicidade de
. Considere a função contínua
Derivando:
Para
tem-se
, logo
para todo
. Isso implica que
é estritamente decrescente em
. Portanto a sequência
é decrescente a partir de
(note que
, mas
observa-se numericamente, então é decrescente a partir de
).
Assim,
satisfaz as duas condições do Critério de Leibniz:
. Pelo Critério de Leibniz, a série alternante
converge.
Passo 4
Agora vamos verificar convergência absoluta. Consideramos a série das modulações:
Para testar essa série usamos a Comparação Limite com a série harmônica
, que sabemos divergir.
Calcule o limite
Como esse limite é finito e positivo (iguais a
), as duas séries têm o mesmo comportamento de convergência. A série
diverge (série harmônica), portanto a série
também diverge.
Logo a série original não é absolutamente convergente.
Passo 5
Conclusão combinando os resultados:
- Pelo Critério de Leibniz, a série
converge. - A série das modulações
diverge, logo a convergência não é absoluta.
Portanto a série converge, mas não absolutamente — isto é, converge condicionalmente.
Resposta
Converge condicionalmente (CC): a série converge, mas não é absolutamente convergente.