Verifique em cada item se a série converge ou diverge; caso seja convergente, verifique se é absolutamente convergente (AC) ou condicionalmente convergente (CC).
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} n}{n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para verificar, no caso da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} n}{n^{2}+1},
se ela converge ou diverge; e, se converge, determinar se é absolutamente convergente (AC) ou condicionalmente convergente (CC).
Informações dadas que vamos usar:
  • O termo geral é \displaystyle a_n^{(s)}=\frac{(-1)^{n+1} n}{n^{2}+1}.
  • O sinal alterna por causa de (-1)^{n+1}.
  • O módulo do termo é \displaystyle a_n=\frac{n}{n^{2}+1}, que é positivo para todo n\ge1.

Passo 2

Verificar as condições do Critério de Leibniz (série alternante): para a série alternante \sum (-1)^{n} b_n convergir, basta que (i) b_n seja uma sequência monótona não crescente a partir de algum N e (ii) \lim_{n\to\infty} b_n=0. Aqui tomamos
b_n=\frac{n}{n^{2}+1}.
Primeiro, calculemos o limite de b_n. Para grandes n a razão \dfrac{n}{n^{2}+1} comporta-se como \dfrac{n}{n^{2}}=\dfrac{1}{n}, então espera-se que vá para 0. Formalmente:
\lim_{n\to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{n^{2}+1} = 0,
pois o denominador cresce de ordem n^{2} enquanto o numerador cresce de ordem n.

Passo 3

Agora verificamos a monotonicidade de b_n. Considere a função contínua
f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}, \qquad x\ge1.
Derivando:
f'(x)=\frac{1\cdot(x^{2}+1)-x\cdot(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}.
Para x>1 tem-se 1-x^{2}<0, logo f'(x)<0 para todo x>1. Isso implica que f é estritamente decrescente em [1,\infty). Portanto a sequência b_n=f(n) é decrescente a partir de n=1 (note que f'(1)=0, mas b_1>b_2 observa-se numericamente, então é decrescente a partir de n=1).
Assim, b_n satisfaz as duas condições do Critério de Leibniz: b_n\downarrow0. Pelo Critério de Leibniz, a série alternante
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} b_n
converge.

Passo 4

Agora vamos verificar convergência absoluta. Consideramos a série das modulações:
\sum_{n=1}^{\infty} |a_n^{(s)}|=\sum_{n=1}^{\infty} b_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{2}+1}.
Para testar essa série usamos a Comparação Limite com a série harmônica \sum \dfrac{1}{n}, que sabemos divergir.
Calcule o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{n}{n^{2}+1}}{\dfrac{1}{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}+1}=1.
Como esse limite é finito e positivo (iguais a 1), as duas séries têm o mesmo comportamento de convergência. A série \sum \dfrac{1}{n} diverge (série harmônica), portanto a série \sum \dfrac{n}{n^{2}+1} também diverge.
Logo a série original não é absolutamente convergente.

Passo 5

Conclusão combinando os resultados:
  • Pelo Critério de Leibniz, a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} n}{n^{2}+1} converge.
  • A série das modulações \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{2}+1} diverge, logo a convergência não é absoluta.
Portanto a série converge, mas não absolutamente — isto é, converge condicionalmente.

Resposta

Converge condicionalmente (CC): a série converge, mas não é absolutamente convergente.

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