onde \mu,\nu\in\{\alpha,\beta\} e \delta_{\mu\nu} é o delta de Kronecker (\delta_{\mu\nu}=1 se \mu=\nu e 0 se \mu\ne\nu).
A integral sobre todas as coordenadas do sistema de duas partículas será escrita como \int d\tau_{1}d\tau_{2}, integrando todas as variáveis (coordenadas espaciais e spin, se houver) das partículas 1 e 2.
O objetivo é calcular a norma \langle\psi_{A}|\psi_{A}\rangle e mostrar que, com o fator 1/\sqrt{2!}, essa norma vale 1 (no caso \alpha\ne\beta; se \alpha=\beta a função é nula, o que também é consistente).
Passo 2
Definir a norma e escrever a expansão que vamos calcular.
Vamos chamar os quatro integrandos, na mesma ordem, de I_{1},I_{2},I_{3},I_{4}. Calculamos cada um usando a ortonormalidade e a separação das integrais.
Se \alpha\ne\beta então \delta_{\alpha\beta}=0 e \langle\psi_{A}|\psi_{A}\rangle=1: a função está normalizada com o fator 1/\sqrt{2!}.
Se \alpha=\beta então \delta_{\alpha\beta}=1 e \langle\psi_{A}|\psi_{A}\rangle=0. Nesse caso a determinantal anti-simétrica é nula (duas partículas não podem ocupar o mesmo estado, princípio de exclusão de Pauli) e a normalização é trivial porque a função é identicamente zero.
Nota adicional (intuição): o fator 1/\sqrt{2!} corrige o número de permutações diferentes (aqui 2!) que aparecem ao expandir o determinante; para N partículas idênticas o fator geral é 1/\sqrt{N!}.
Resposta
Sim. \langle\psi_{A}|\psi_{A}\rangle=1 para \alpha\neq\beta, portanto o fator 1/\sqrt{2!} está correto.
Se \alpha=\beta então \psi_{A}=0 (norma zero).