Verifique que o fator de normalização 1 / \sqrt{2!} está correto para a autofunção anti-simétrica de duas partículas idênticas dada, por
\psi_{A}=\frac{1}{\sqrt{2!}}\left|\begin{array}{ll} \psi_{\alpha}(1) & \psi_{\beta}(1) \\ \psi_{\alpha}(2) & \psi_{\beta}(2) \end{array}\right|=\frac{1}{\sqrt{2!}}\left[\psi_{\alpha}(1) \psi_{\beta}(2)-\psi_{\alpha}(2) \psi_{\beta}(1)\right]

Passo 1

O enunciado dá a autofunção anti-simétrica de duas partículas idênticas
\psi_{A}=\frac{1}{\sqrt{2!}}\left[\psi_{\alpha}(1)\psi_{\beta}(2)-\psi_{\alpha}(2)\psi_{\beta}(1)\right]
e pede para verificar que o fator de normalização 1/\sqrt{2!} está correto.
Informações dadas e o que vamos usar:
  • As funções de uma partícula \psi_{\alpha} e \psi_{\beta} são assumidas ortonormais, ou seja,
\int \psi_{\mu}^{*}(x)\,\psi_{\nu}(x)\,dx=\delta_{\mu\nu},
onde \mu,\nu\in\{\alpha,\beta\} e \delta_{\mu\nu} é o delta de Kronecker ( \delta_{\mu\nu}=1 se \mu=\nu e 0 se \mu\ne\nu).
  • A integral sobre todas as coordenadas do sistema de duas partículas será escrita como \int d\tau_{1}d\tau_{2}, integrando todas as variáveis (coordenadas espaciais e spin, se houver) das partículas 1 e 2.
  • O objetivo é calcular a norma \langle\psi_{A}|\psi_{A}\rangle e mostrar que, com o fator 1/\sqrt{2!}, essa norma vale 1 (no caso \alpha\ne\beta; se \alpha=\beta a função é nula, o que também é consistente).

Passo 2

Definir a norma e escrever a expansão que vamos calcular.
A norma é o produto interno
\langle\psi_{A}|\psi_{A}\rangle=\int d\tau_{1}d\tau_{2}\,\psi_{A}^{*}(1,2)\,\psi_{A}(1,2).
Substituindo a forma de \psi_{A} (observe que o fator 1/\sqrt{2!} é real, então o conjugado complexo age apenas nas \psi):
\psi_{A}^{*}=\frac{1}{\sqrt{2!}}\left[\psi_{\alpha}^{*}(1)\psi_{\beta}^{*}(2)-\psi_{\alpha}^{*}(2)\psi_{\beta}^{*}(1)\right].
Portanto
\langle\psi_{A}|\psi_{A}\rangle=\frac{1}{2}\int d\tau_{1}d\tau_{2}\,\bigl[\psi_{\alpha}^{*}(1)\psi_{\beta}^{*}(2)-\psi_{\alpha}^{*}(2)\psi_{\beta}^{*}(1)\bigr]\bigl[\psi_{\alpha}(1)\psi_{\beta}(2)-\psi_{\alpha}(2)\psi_{\beta}(1)\bigr].

Passo 3

Expandir o produto e identificar os quatro termos.
Ao multiplicar os colchetes obtemos quatro integrais:
\begin{aligned} \langle\psi_{A}|\psi_{A}\rangle=\frac{1}{2}\int d\tau_{1}d\tau_{2}\,\Bigl(&\psi_{\alpha}^{*}(1)\psi_{\beta}^{*}(2)\psi_{\alpha}(1)\psi_{\beta}(2)\\\ &-\psi_{\alpha}^{*}(1)\psi_{\beta}^{*}(2)\psi_{\alpha}(2)\psi_{\beta}(1)\\\ &-\psi_{\alpha}^{*}(2)\psi_{\beta}^{*}(1)\psi_{\alpha}(1)\psi_{\beta}(2)\\\ &+\psi_{\alpha}^{*}(2)\psi_{\beta}^{*}(1)\psi_{\alpha}(2)\psi_{\beta}(1)\Bigr). \end{aligned}
Vamos chamar os quatro integrandos, na mesma ordem, de I_{1},I_{2},I_{3},I_{4}. Calculamos cada um usando a ortonormalidade e a separação das integrais.

Passo 4

Calcular I_{1} e I_{4} (termos “diagonais”).
Para I_{1}:
I_{1}=\int d\tau_{1}d\tau_{2}\,\psi_{\alpha}^{*}(1)\psi_{\beta}^{*}(2)\psi_{\alpha}(1)\psi_{\beta}(2).
Como o integrando fatoriza em função de variáveis separadas,
I_{1}=\left(\int d\tau_{1}\,\psi_{\alpha}^{*}(1)\psi_{\alpha}(1)\right)\left(\int d\tau_{2}\,\psi_{\beta}^{*}(2)\psi_{\beta}(2)\right)=1\cdot 1=1,
pela ortonormalidade. Analogamente, para I_{4}:
I_{4}=\int d\tau_{1}d\tau_{2}\,\psi_{\alpha}^{*}(2)\psi_{\beta}^{*}(1)\psi_{\alpha}(2)\psi_{\beta}(1)=1.

Passo 5

Calcular I_{2} e I_{3} (termos cruzados).
Para I_{2}:
I_{2}=\int d\tau_{1}d\tau_{2}\,\psi_{\alpha}^{*}(1)\psi_{\beta}^{*}(2)\psi_{\alpha}(2)\psi_{\beta}(1).
Reagrupando por variáveis,
I_{2}=\left(\int d\tau_{1}\,\psi_{\alpha}^{*}(1)\psi_{\beta}(1)\right)\left(\int d\tau_{2}\,\psi_{\beta}^{*}(2)\psi_{\alpha}(2)\right).
Cada integral simples é \delta_{\alpha\beta} pela ortonormalidade, então
I_{2}=\delta_{\alpha\beta}\,\delta_{\beta\alpha}=(\delta_{\alpha\beta})^{2}=\delta_{\alpha\beta}.
Como as integrais são reais, I_{3} (o conjugado do cruzado) dá o mesmo:
I_{3}=\delta_{\alpha\beta}.

Passo 6

Juntar tudo e simplificar para obter a norma.
Substituindo I_{1},I_{2},I_{3},I_{4} na expressão da norma:
\langle\psi_{A}|\psi_{A}\rangle=\frac{1}{2}\bigl(I_{1}-I_{2}-I_{3}+I_{4}\bigr)=\frac{1}{2}\bigl(1-\delta_{\alpha\beta}-\delta_{\alpha\beta}+1\bigr).
Isso dá
\langle\psi_{A}|\psi_{A}\rangle=\frac{1}{2}\bigl(2-2\delta_{\alpha\beta}\bigr)=1-\delta_{\alpha\beta}.
Interpretação:
  • Se \alpha\ne\beta então \delta_{\alpha\beta}=0 e \langle\psi_{A}|\psi_{A}\rangle=1: a função está normalizada com o fator 1/\sqrt{2!}.
  • Se \alpha=\beta então \delta_{\alpha\beta}=1 e \langle\psi_{A}|\psi_{A}\rangle=0. Nesse caso a determinantal anti-simétrica é nula (duas partículas não podem ocupar o mesmo estado, princípio de exclusão de Pauli) e a normalização é trivial porque a função é identicamente zero.
Nota adicional (intuição): o fator 1/\sqrt{2!} corrige o número de permutações diferentes (aqui 2!) que aparecem ao expandir o determinante; para N partículas idênticas o fator geral é 1/\sqrt{N!}.

Resposta

Sim. \langle\psi_{A}|\psi_{A}\rangle=1 para \alpha\neq\beta, portanto o fator 1/\sqrt{2!} está correto.
Se \alpha=\beta então \psi_{A}=0 (norma zero).

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