Verifique se a funçāo f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \[f(x)= \begin{cases}\frac{x^{2}-1}{x-1} & \text { se } x \neq 1 \\\\ 1 & \text { se } x=1\end{cases}
é contínua em (a=1] ? (Justifique sua resposta).

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por \[f(x)= \begin{cases}\dfrac{x^{2}-1}{x-1} & \text{se } x \neq 1,\\[6pt] 1 & \text{se } x=1,\end{cases}
e pergunta se f\] é contínua no ponto \(a=1.\n
Informações relevantes fornecidas:
  • A definição de f(x) para x\neq1 é \dfrac{x^{2}-1}{x-1}.
  • O valor atribuído em x=1 é f(1)=1.
  • A pergunta a responder é: f é contínua em a=1? (com justificativa).]

Passo 2

Lembrete didático: o que significa ser contínua em um ponto?\n
Uma função f é contínua em a se, e somente se, as três coisas seguintes ocorrem:
  1. f(a) está definida.
  2. \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) existe.
  3. \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=f(a).\n
    Ou seja, para verificar continuidade em a=1 precisamos calcular o limite \displaystyle \lim_{x\to1} f(x) (se existir) e comparar com o valor f(1) que foi dado.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão de f(x) para x\neq1. Ensinar passo a passo a álgebra usada:\n
Observe que o numerador é uma diferença de quadrados. Fatorando:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Como estamos considerando x\neq1, podemos cancelar o fator (x-1) no numerador e no denominador. Assim, para x\neq1,
f(x)=\frac{x^{2}-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1.
Portanto a função pode ser vista como
f(x)= \begin{cases}x+1 & \text{se } x\neq1,\\[4pt] 1 & \text{se } x=1.\end{cases}]

Passo 4

Calcular o limite quando x\to1. Explicando a propriedade usada:\n
Já que para x próximos de 1 (mas diferentes de 1) vale f(x)=x+1, temos
\lim_{x\to1} f(x)=\lim_{x\to1} (x+1).
Funções polinomiais são contínuas em todos os pontos, portanto o limite de x+1 em x=1 é simplesmente a substituição x=1:
\lim_{x\to1} (x+1)=1+1=2.
Logo \displaystyle \lim_{x\to1} f(x)=2. (Passo a passo: primeiro simplificou-se a expressão para x\neq1, depois aplicou-se a propriedade de continuidade dos polinômios para avaliar o limite por substituição.)

Passo 5

Comparação com o valor da função em 1 e conclusão.\n
Foi dado que f(1)=1. Encontramos \displaystyle \lim_{x\to1} f(x)=2. Como
\lim_{x\to1} f(x)=2 \neq 1=f(1),
a condição (3) da definição de continuidade falha. Portanto f não é contínua em a=1.\n
Observação didática final: esse tipo de descontinuidade, em que a expressão para x\neq1 tem limite finito diferente do valor atribuído em 1, é chamada de descontinuidade removível — porque se redefiníssemos f(1)=2 a função ficaria contínua em 1. Em provas, o procedimento padrão é: fatorar/cancelar quando possível, calcular o limite e comparar com o valor dado em a.

Resposta

Não. \displaystyle \lim_{x\to1} f(x)=2 \neq f(1)=1.

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