Verifique se a funçāo
é contínua em (a=1] ? (Justifique sua resposta).
Passo 1
O enunciado dá a função
e pergunta se
.\n
Informações relevantes fornecidas:
- A definição de
para é . - O valor atribuído em
é . - A pergunta a responder é:
é contínua em ? (com justificativa).]
Passo 2
Lembrete didático: o que significa ser contínua em um ponto?\n
Uma função é contínua em
se, e somente se, as três coisas seguintes ocorrem:
Uma função
-
está definida. -
existe. -
.\n
Ou seja, para verificar continuidade emprecisamos calcular o limite (se existir) e comparar com o valor que foi dado.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão de
para
. Ensinar passo a passo a álgebra usada:\n
Observe que o numerador é uma diferença de quadrados. Fatorando:
Observe que o numerador é uma diferença de quadrados. Fatorando:
Como estamos considerando
, podemos cancelar o fator
no numerador e no denominador. Assim, para
,
Portanto a função pode ser vista como
Passo 4
Calcular o limite quando
. Explicando a propriedade usada:\n
Já que para próximos de
(mas diferentes de
) vale
, temos
Já que para
Funções polinomiais são contínuas em todos os pontos, portanto o limite de
em
é simplesmente a substituição
:
Logo
. (Passo a passo: primeiro simplificou-se a expressão para
, depois aplicou-se a propriedade de continuidade dos polinômios para avaliar o limite por substituição.)
Passo 5
Comparação com o valor da função em
e conclusão.\n
Foi dado que . Encontramos
. Como
Foi dado que
a condição (3) da definição de continuidade falha. Portanto
não é contínua em
.\n
Observação didática final: esse tipo de descontinuidade, em que a expressão para tem limite finito diferente do valor atribuído em
, é chamada de descontinuidade removível — porque se redefiníssemos
a função ficaria contínua em
. Em provas, o procedimento padrão é: fatorar/cancelar quando possível, calcular o limite e comparar com o valor dado em
.
Observação didática final: esse tipo de descontinuidade, em que a expressão para
Resposta
Não.
.