Verifique as identidades a seguir:
\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{2 s^{2}+9 s+7}{(s-4)\left(s^{2}+9\right)}\right]=3 e^{4 t}-\cos (3 t)+\frac{5}{3} \sin (3 t)

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos a igualdade entre duas expressões: a transformada inversa de Laplace da função racional
\frac{2 s^{2}+9 s+7}{(s-4)\left(s^{2}+9\right)}
e a função temporal dada
3 e^{4 t}-\cos (3 t)+\frac{5}{3} \sin (3 t).
Informações relevantes fornecidas: o numerador é 2 s^{2}+9 s+7 e o denominador é o produto (s-4)\left(s^{2}+9\right). A tarefa é calcular \mathcal{L}^{-1} da fração racional e mostrar que ela é igual à função indicada.

Passo 2

Primeiro, lembraremos de algumas propriedades e transformadas básicas que vamos usar (explicando o que cada símbolo significa):
  • Linearidade da transformada inversa: se F(s)=F_1(s)+F_2(s) então \mathcal{L}^{-1}[F(s)]=\mathcal{L}^{-1}[F_1(s)]+\mathcal{L}^{-1}[F_2(s)]. Isso significa que podemos decompor a função em parcelas mais simples e inverter cada uma separadamente.
  • Fórmulas padrões (onde a,b são constantes reais e t é a variável do tempo): \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s-a}\right]=e^{a t},
\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{s}{s^{2}+b^{2}}\right]=\cos(bt),
\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s^{2}+b^{2}}\right]=\frac{1}{b}\sin(bt).
Nas fórmulas acima, s é a variável do domínio de Laplace e t é o tempo. Essas fórmulas são derivadas da transformada direta padrão, mas aqui usamos as inversas.

Passo 3

Como o denominador tem um fator linear (s-4) e um quadrático irreduzível (s^{2}+9), escolhemos a decomposição em frações parciais da forma
\frac{2 s^{2}+9 s+7}{(s-4)\left(s^{2}+9\right)}=\frac{A}{s-4}+\frac{B s+C}{s^{2}+9},
onde A,B,C são constantes reais a determinar. Explico por que: para um fator linear usamos uma constante no numerador ( A), e para um quadrático irreducível usamos um numerador linear ( B s + C).

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados pela expressão (s-4)(s^{2}+9) para igualar numeradores:
2 s^{2}+9 s+7 = A(s^{2}+9) + (B s+C)(s-4).
Agora vamos expandir o lado direito e agrupar termos por potências de s.

Passo 5

Expandindo:
A(s^{2}+9)=A s^{2}+9A,
(B s+C)(s-4)=B s^{2}+(C-4B)s-4C.
Somando:
A s^{2}+9A + B s^{2}+(C-4B)s-4C = (A+B)s^{2} + (C-4B)s + (9A-4C).
Comparando com o numerador da esquerda 2 s^{2}+9 s+7, obtemos o sistema de equações para os coeficientes (igualando coeficientes de s^{2}, s e termo independente):
\begin{cases} A + B = 2,\\[4pt] C - 4B = 9,\\[4pt] 9A - 4C = 7. \end{cases}]

Passo 6

Vamos resolver o sistema passo a passo.
Da primeira equação temos
A = 2 - B.
Da segunda equação temos
C = 9 + 4B.
Substituindo essas expressões na terceira equação:
9A - 4C = 7 \Rightarrow 9(2-B) - 4(9+4B) = 7.
Calculemos cada termo:
9(2-B)=18-9B,
-4(9+4B)=-36-16B.
Somando:
(18-9B)+(-36-16B)= -18 -25B.
Logo
-18 -25B = 7 \Rightarrow -25B = 25 \Rightarrow B = -1.
Agora encontramos A e C:
A = 2 - B = 2 - (-1) = 3,
C = 9 + 4B = 9 + 4(-1) = 5.

Passo 7

Com os coeficientes encontrados ( A=3, B=-1, C=5) a decomposição é
\frac{2 s^{2}+9 s+7}{(s-4)\left(s^{2}+9\right)}=\frac{3}{s-4}+\frac{-s+5}{s^{2}+9}.
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo, usando as fórmulas do Passo 2:
  • Para \displaystyle \frac{3}{s-4}, temos \mathcal{L}^{-1}\!\left[\frac{3}{s-4}\right]=3 e^{4 t}.
  • Para \displaystyle \frac{-s}{s^{2}+9}, reconhecemos a forma \frac{s}{s^{2}+3^{2}}, logo \mathcal{L}^{-1}\!\left[\frac{-s}{s^{2}+9}\right]=-\cos(3 t).
  • Para \displaystyle \frac{5}{s^{2}+9}, usamos \mathcal{L}^{-1}\!\left[\frac{1}{s^{2}+3^{2}}\right]=\frac{1}{3}\sin(3 t), então \mathcal{L}^{-1}\!\left[\frac{5}{s^{2}+9}\right]=\frac{5}{3}\sin(3 t).

Passo 8

Somando as três parcelas inversas obtidas no passo anterior (pela linearidade) obtemos a função no domínio do tempo correspondente à transformada dada. Assim concluímos a verificação pedida.

Resposta

\;3 e^{4 t}-\cos (3 t)+\frac{5}{3} \sin (3 t)

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