Verifique que
são equações paramétricas de um ramo da hipérbole
.
Passo 1
O enunciado nos dá as equações paramétricas
com o parâmetro variando em
.
A tarefa é verificar que essas equações representam um ramo da hipérbole
A tarefa é verificar que essas equações representam um ramo da hipérbole
Informações relevantes fornecidas:
- As expressões para
e em função de . - O intervalo do parâmetro:
.
Passo 2
Vamos usar a identidade trigonométrica fundamental entre
e
:
Explicando essa identidade de forma simples:
e
. Como
, dividindo ambos os lados por
obtém-se
Essa é a ferramenta chave para ligar as parametrizações trigonométricas à equação cartesiana da hipérbole.
Passo 3
Agora substituímos as expressões paramétricas na equação da hipérbole para verificar:
primeiro escrevemos e
a partir das parametrizações:
primeiro escrevemos
Dividimos cada quadrado pelo respectivo denominador da hipérbole:
Subtraindo as duas expressões obtemos
Pelo passo anterior,
. Portanto
ou seja, qualquer ponto gerado pelas parametrizações satisfaz a equação da hipérbole.
Passo 4
Precisamos agora justificar por que as parametrizações descrevem apenas um ramo (e qual ramo). Observações sobre o intervalo
:
- Para
nesse intervalo tem-se , logo . Em particular e é igual a apenas em . - Assim
é sempre positivo e satisfaz . Logo
Portanto a parametrização produz apenas pontos com
, isto é, o ramo direito da hipérbole (o ramo cujo vértice à direita é
quando
).
Passo 5
Mostramos também que a parametrização atinge todo esse ramo direito: dado um
, existe
tal que
porque a função
realiza todos os valores reais nesse intervalo. Para esse
correspondente temos
e então
que é exatamente a expressão do ramo direito da hipérbole em termos de
. Assim a parametrização é sobrejetora no ramo direito e cada
corresponde a um único
nesse intervalo.
Resposta
As equações paramétricas representam o ramo direito da hipérbole
, correspondente aos pontos com
, para
.