Verifique que \left\{\begin{array}{l}x=1+2 \operatorname{sec} t \\\ y=3+3 \operatorname{tg} t\end{array},-\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2}, \quad\right. são equações paramétricas de um ramo da hipérbole \frac{(x-1)^{2}}{4}-\frac{(y-3)^{2}}{9}=1.

Passo 1

O enunciado nos dá as equações paramétricas
x=1+2\operatorname{sec} t
y=3+3\tan t
com o parâmetro variando em \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right).
A tarefa é verificar que essas equações representam um ramo da hipérbole
\frac{(x-1)^{2}}{4}-\frac{(y-3)^{2}}{9}=1.
Informações relevantes fornecidas:
  • As expressões para x e y em função de t.
  • O intervalo do parâmetro: \;-\dfrac{\pi}{2}<t<\dfrac{\pi}{2}.

Passo 2

Vamos usar a identidade trigonométrica fundamental entre \operatorname{sec} e \tan:
\operatorname{sec}^{2}t-\tan^{2}t=1.
Explicando essa identidade de forma simples: \operatorname{sec} t=\dfrac{1}{\cos t} e \tan t=\dfrac{\sin t}{\cos t}. Como \sin^{2}t+\cos^{2}t=1, dividindo ambos os lados por \cos^{2}t obtém-se
\operatorname{sec}^{2}t-\tan^{2}t=1.
Essa é a ferramenta chave para ligar as parametrizações trigonométricas à equação cartesiana da hipérbole.

Passo 3

Agora substituímos as expressões paramétricas na equação da hipérbole para verificar:
primeiro escrevemos (x-1) e (y-3) a partir das parametrizações:
x-1=2\operatorname{sec} t,
y-3=3\tan t.
Dividimos cada quadrado pelo respectivo denominador da hipérbole:
\frac{(x-1)^{2}}{4}=\frac{(2\operatorname{sec} t)^{2}}{4}=\operatorname{sec}^{2}t,
\frac{(y-3)^{2}}{9}=\frac{(3\tan t)^{2}}{9}=\tan^{2}t.
Subtraindo as duas expressões obtemos
\frac{(x-1)^{2}}{4}-\frac{(y-3)^{2}}{9}=\operatorname{sec}^{2}t-\tan^{2}t.
Pelo passo anterior, \operatorname{sec}^{2}t-\tan^{2}t=1. Portanto
\frac{(x-1)^{2}}{4}-\frac{(y-3)^{2}}{9}=1,
ou seja, qualquer ponto gerado pelas parametrizações satisfaz a equação da hipérbole.

Passo 4

Precisamos agora justificar por que as parametrizações descrevem apenas um ramo (e qual ramo). Observações sobre o intervalo -\dfrac{\pi}{2}<t<\dfrac{\pi}{2}:
  • Para t nesse intervalo tem-se \cos t>0, logo \operatorname{sec} t=\dfrac{1}{\cos t}>0. Em particular \operatorname{sec} t\geq1 e é igual a 1 apenas em t=0.
  • Assim (x-1)=2\operatorname{sec} t é sempre positivo e satisfaz x-1\geq 2. Logo
x\geq 1+2=3.
Portanto a parametrização produz apenas pontos com x\geq 3, isto é, o ramo direito da hipérbole (o ramo cujo vértice à direita é x=3 quando t=0).

Passo 5

Mostramos também que a parametrização atinge todo esse ramo direito: dado um y\in\mathbb{R}, existe t\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right) tal que
\tan t=\frac{y-3}{3},
porque a função \tan realiza todos os valores reais nesse intervalo. Para esse t correspondente temos
\operatorname{sec} t=\sqrt{1+\tan^{2}t}=\sqrt{1+\left(\frac{y-3}{3}\right)^{2}}>0,
e então
x=1+2\operatorname{sec} t=1+2\sqrt{1+\left(\frac{y-3}{3}\right)^{2}},
que é exatamente a expressão do ramo direito da hipérbole em termos de y. Assim a parametrização é sobrejetora no ramo direito e cada y corresponde a um único t nesse intervalo.

Resposta

As equações paramétricas representam o ramo direito da hipérbole \dfrac{(x-1)^{2}}{4}-\dfrac{(y-3)^{2}}{9}=1, correspondente aos pontos com x\geq 3, para t\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right).

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