Verifique que
, são equações paramétricas de um ramo da hipérbole
.
Passo 1
O enunciado nos dá as equações paramétricas
e pede para verificar que elas descrevem um ramo da hipérbole
.
Informações fornecidas que usaremos: as expressões de e
em função de
e o domínio
.
Informações fornecidas que usaremos: as expressões de
Passo 2
Vamos lembrar as definições fundamentais das funções hiperbólicas (isto é teoria necessária, explicada passo a passo). Para todo
vale:
Aqui
é a exponencial natural. Essas fórmulas são a forma padrão de definir
e
. Um exemplo simples para fixar a intuição: para
,
Passo 3
Agora substituímos as expressões em exponenciais nas fórmulas dadas para
e
. Primeiro
:
Agrupando termos semelhantes no segundo membro:
Passo 4
Do mesmo modo para
:
logo
Passo 5
Com as formas exponenciais encontradas temos uma conta simples para o produto
:
Portanto, para todo
o par
satisfaz
. Isso mostra que a curva dada pelos paramétricos está contida na hipérbole de equação
.
Passo 6
Ainda falta ver que é um ramo (e qual ramo). Observe que para todo
vale
e
. Assim os pontos produzidos têm
e
. A hipérbole
tem dois ramos (um com
e outro com
). Como aqui
e
são sempre positivos, a parametrização descreve exatamente o ramo no primeiro quadrante (o ramo positivo) da hipérbole. Além disso, à medida que
varia por todo
,
percorre
e
percorre
, ou seja, cobre todo esse ramo.
Resposta
O ramo parametrizado é o ramo com
(primeiro quadrante), com
.