Verifique que \mathcal{H}:\left\{\begin{array}{l}x=\operatorname{cosh} t+\operatorname{senh} t \\\ y=\operatorname{cosh} t-\operatorname{senh} t\end{array}, t \in \mathbb{R}\right., são equações paramétricas de um ramo da hipérbole x y=1.

Passo 1

O enunciado nos dá as equações paramétricas
x=\operatorname{cosh} t+\operatorname{senh} t,\qquad y=\operatorname{cosh} t-\operatorname{senh} t,\qquad t\in\mathbb{R},
e pede para verificar que elas descrevem um ramo da hipérbole \,xy=1.
Informações fornecidas que usaremos: as expressões de x e y em função de t e o domínio t\in\mathbb{R}.

Passo 2

Vamos lembrar as definições fundamentais das funções hiperbólicas (isto é teoria necessária, explicada passo a passo). Para todo t\in\mathbb{R} vale:
\operatorname{cosh} t=\frac{e^{t}+e^{-t}}{2},\qquad \operatorname{sinh} t=\frac{e^{t}-e^{-t}}{2}.
Aqui e^{t} é a exponencial natural. Essas fórmulas são a forma padrão de definir \operatorname{cosh} e \operatorname{sinh}. Um exemplo simples para fixar a intuição: para t=0,
\operatorname{cosh} 0=\frac{1+1}{2}=1,\qquad \operatorname{sinh} 0=\frac{1-1}{2}=0.

Passo 3

Agora substituímos as expressões em exponenciais nas fórmulas dadas para x e y. Primeiro x:
x=\operatorname{cosh} t+\operatorname{senh} t =\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}+\frac{e^{t}-e^{-t}}{2}.
Agrupando termos semelhantes no segundo membro:
x=\frac{(e^{t}+e^{-t})+(e^{t}-e^{-t})}{2} =\frac{2e^{t}}{2}=e^{t}.

Passo 4

Do mesmo modo para y:
y=\operatorname{cosh} t-\operatorname{senh} t =\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}-\frac{e^{t}-e^{-t}}{2},
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y=\frac{(e^{t}+e^{-t})-(e^{t}-e^{-t})}{2} =\frac{2e^{-t}}{2}=e^{-t}.

Passo 5

Com as formas exponenciais encontradas temos uma conta simples para o produto xy:
xy=(e^{t})(e^{-t})=e^{t+t(-1)}=e^{0}=1.
Portanto, para todo t\in\mathbb{R} o par (x,y) satisfaz \,xy=1. Isso mostra que a curva dada pelos paramétricos está contida na hipérbole de equação \,xy=1.

Passo 6

Ainda falta ver que é um ramo (e qual ramo). Observe que para todo t\in\mathbb{R} vale e^{t}>0 e e^{-t}>0. Assim os pontos produzidos têm x>0 e y>0. A hipérbole \,xy=1 tem dois ramos (um com x>0,y>0 e outro com x<0,y<0). Como aqui x=e^{t} e y=e^{-t} são sempre positivos, a parametrização descreve exatamente o ramo no primeiro quadrante (o ramo positivo) da hipérbole. Além disso, à medida que t varia por todo \mathbb{R}, x=e^{t} percorre (0,\infty) e y=e^{-t}=1/x percorre (0,\infty), ou seja, cobre todo esse ramo.

Resposta

xy=1
O ramo parametrizado é o ramo com x>0,\\ y>0 (primeiro quadrante), com x=e^{t},\\ y=e^{-t}.

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