Verifique que \mathcal{E}:\left\{\begin{array}{l}x=2(\cos t+\operatorname{sen} t) \\\ y=3(\cos t-\operatorname{sen} t)\end{array}, t \in \mathbb{R}\right., são equações paramétricas de uma elipse. Dê a equação cartesiana dessa elipse.

Passo 1

O enunciado dá as curvas paramétricas
x=2(\cos t+\sin t),\qquad y=3(\cos t-\sin t),\qquad t\in\mathbb{R},
e pede para verificar que isso descreve uma elipse e encontrar a equação cartesiana correspondente.
Informações dadas que vamos usar:
  • As expressões de x e y em função de t.
  • A identidade trigonométrica fundamental \cos^{2}t+\sin^{2}t=1.

Passo 2

Para eliminar o parâmetro t é conveniente chamar
u=\cos t,\qquad v=\sin t,
de modo que as equações ficam lineares em u e v:
\frac{x}{2}=u+v,\qquad \frac{y}{3}=u-v.
Agora resolvemos esse sistema linear para u e v. Soma as duas igualdades e depois subtrai para isolar u e v:
Somando:
\frac{x}{2}+\frac{y}{3}= (u+v)+(u-v)=2u.
Logo
u=\frac{1}{2}\Bigl(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}\Bigr)=\frac{x}{4}+\frac{y}{6}.
Subtraindo (primeira menos segunda):
\frac{x}{2}-\frac{y}{3}=(u+v)-(u-v)=2v.
Logo
v=\frac{1}{2}\Bigl(\frac{x}{2}-\frac{y}{3}\Bigr)=\frac{x}{4}-\frac{y}{6}.

Passo 3

Usamos agora a identidade trigonométrica \cos^{2}t+\sin^{2}t=1, que em u,v é
u^{2}+v^{2}=1.
Substituímos as expressões de u e v:
\Bigl(\frac{x}{4}+\frac{y}{6}\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{x}{4}-\frac{y}{6}\Bigr)^{2}=1.

Passo 4

Expandimos as duas quadraturas e simplificamos passo a passo. Primeiro, escrever os quadrados:
\Bigl(\frac{x}{4}+\frac{y}{6}\Bigr)^{2}=\frac{x^{2}}{16}+2\cdot\frac{x}{4}\cdot\frac{y}{6}+\frac{y^{2}}{36},
\Bigl(\frac{x}{4}-\frac{y}{6}\Bigr)^{2}=\frac{x^{2}}{16}-2\cdot\frac{x}{4}\cdot\frac{y}{6}+\frac{y^{2}}{36}.
Somando as duas expressões, os termos mistos se cancelam:
\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{36}+\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{36} =2\cdot\frac{x^{2}}{16}+2\cdot\frac{y^{2}}{36}.
Simplificando os coeficientes:
2\cdot\frac{x^{2}}{16}=\frac{x^{2}}{8},\qquad 2\cdot\frac{y^{2}}{36}=\frac{y^{2}}{18}.
Portanto a identidade vira
\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{18}=1.

Passo 5

Interpretação final: \dfrac{x^{2}}{8}+\dfrac{y^{2}}{18}=1 é a equação cartesiana de uma elipse centrada na origem, com semi-eixo em x de comprimento \sqrt{8}=2\sqrt{2} e semi-eixo em y de comprimento \sqrt{18}=3\sqrt{2}. Como os coeficientes de x^{2} e y^{2} são positivos e há soma igual a 1, trata-se de uma elipse.

Resposta

\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{18}=1

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