Verifique que
, são equações paramétricas de uma elipse. Dê a equação cartesiana dessa elipse.
Passo 1
O enunciado dá as curvas paramétricas
e pede para verificar que isso descreve uma elipse e encontrar a equação cartesiana correspondente.
Informações dadas que vamos usar:
Informações dadas que vamos usar:
- As expressões de
e em função de . - A identidade trigonométrica fundamental
.
Passo 2
Para eliminar o parâmetro
é conveniente chamar
de modo que as equações ficam lineares em
e
:
Agora resolvemos esse sistema linear para
e
. Soma as duas igualdades e depois subtrai para isolar
e
:
Somando:
Logo
Subtraindo (primeira menos segunda):
Logo
Passo 3
Usamos agora a identidade trigonométrica
, que em
é
Substituímos as expressões de
e
:
Passo 4
Expandimos as duas quadraturas e simplificamos passo a passo. Primeiro, escrever os quadrados:
Somando as duas expressões, os termos mistos se cancelam:
Simplificando os coeficientes:
Portanto a identidade vira
Passo 5
Interpretação final:
é a equação cartesiana de uma elipse centrada na origem, com semi-eixo em
de comprimento
e semi-eixo em
de comprimento
. Como os coeficientes de
e
são positivos e há soma igual a 1, trata-se de uma elipse.